Question - Calculating Volume of Solid of Revolution Using Disk Method
Solution:
Para resolver este problema, utilizaremos el método de discos para calcular el volumen del sólido de revolución generado al girar el segmento de la recta alrededor del eje $$ x $$.La recta dada por la ecuación $$ y = 2x + 1 $$ se revoluciona alrededor del eje $$ x $$. Entonces el volumen $$ V $$ del sólido generado es calculado por la integral\[ V = \pi \int_{a}^{b} [y(x)]^2 dx \]donde $$ y(x) $$ es la función que vamos a rotar, y $$ a $$ y $$ b $$ son los límites de integración que corresponden a los puntos donde $$ x = 1 $$ y $$ x = 5 $$, respectivamente.Vamos a calcular el volumen:\[ V = \pi \int_{1}^{5} (2x + 1)^2 dx \]Antes de integrar, expandimos el cuadrado del binomio:\[ (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \]Entonces la integral se convierte en:\[ V = \pi \int_{1}^{5} (4x^2 + 4x + 1) dx \]\[ V = \pi \left[ \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x \right]_{1}^{5} \]Calculando esta integral definida, sustituimos los límites de integración:\[ V = \pi \left( \frac{4}{3}(5)^3 + 2(5)^2 + 5 - \left( \frac{4}{3}(1)^3 + 2(1)^2 + 1 \right) \right) \]\[ V = \pi \left( \frac{4}{3}(125) + 2(25) + 5 - \left( \frac{4}{3}(1) + 2(1) + 1 \right) \right) \]\[ V = \pi \left( \frac{500}{3} + 50 + 5 - \left( \frac{4}{3} + 2 + 1 \right) \right) \]\[ V = \pi \left( \frac{500}{3} + 50 + 5 - \frac{4}{3} - 3 \right) \]\[ V = \pi \left( \frac{500}{3} - \frac{4}{3} + 50 + 5 - 3 \right) \]\[ V = \pi \left( \frac{496}{3} + 52 \right) \]Llegamos a:\[ V = \pi \left( \frac{496}{3} + \frac{156}{3} \right) \]\[ V = \pi \frac{652}{3} \]\[ V = 217\pi \]Así que el volumen del cono generado es $$ 217\pi $$ unidades cúbicas.
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