Example Question - gcd
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding the Greatest Common Divisor (GCD) - Chocolate Distribution Calculation
Para resolver esta pregunta, tenemos que encontrar el máximo común divisor (MCD) entre el número de barras de chocolate que tienen Pablo y Mariana, que son 34 y 18 respectivamente. El MCD es el número más grande que divide a ambos números sin dejar residuo. Para encontrar el MCD de 34 y 18, podemos usar el algoritmo de Euclides, que consiste en dividir el número más grande entre el más pequeño y luego dividir el divisor entre el residuo. Repetimos este proceso hasta que el residuo sea cero. El último divisor es el MCD. Comenzamos dividiendo 34 entre 18: 34 = 18 * 1 + 16 Luego dividimos 18 entre el residuo anterior, 16: 18 = 16 * 1 + 2 Continuamos dividiendo el último divisor, 16, entre el residuo, 2: 16 = 2 * 8 + 0 Como llegamos a un residuo de cero, el último divisor antes del cero, que es 2, es nuestro MCD. Esto significa que Pablo y Mariana pueden repartir los chocolates en grupos de 2 barras cada uno para que cada familia reciba la misma cantidad y sea la mayor posible. Entonces, si queremos saber a cuántos familiares repartirán dulces cada uno: Pablo tiene 34 barras, y al repartirlas de a 2, dará a: 34 / 2 = 17 familiares Mariana tiene 18 barras, y al repartirlas de a 2, dará a: 18 / 2 = 9 familiares En conclusión, Pablo repartirá chocolates a 17 familiares y Mariana a 9 familiares, repartiendo 2 barras de chocolate a cada familiar.
Determining GCD and LCM Using Hasse Diagrams
Die Aufgabe in dem Bild lautet: "Aufgabe 6: Hasse-Diagramme, ggT und kgV Bestimmen Sie den ggT und das kgV der Zahlen 40 und 50 mit Hilfe eines Hasse-Diagramms. Beschriften Sie das Hasse-Diagramm vollständig." Beginnen wir mit der Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) für die Zahlen 40 und 50. Zuerst zerlegen wir beide Zahlen in ihre Primfaktoren: - 40 = 2^3 * 5 - 50 = 2 * 5^2 Der ggT ist das Produkt aller Primfaktoren, die die Zahlen gemeinsam haben, jeweils in der niedrigsten Potenz, die in beiden Zerlegungen vorkommt. - ggT(40, 50) = 2 * 5 = 10 Das kgV ist das Produkt aller Primfaktoren, die in wenigstens einer der beiden Zerlegungen vorkommen, jeweils in der höchsten vorkommenden Potenz. - kgV(40, 50) = 2^3 * 5^2 = 8 * 25 = 200 Für das Hasse-Diagramm beginnen wir, indem wir die Primfaktorzerlegungen der beiden Zahlen darstellen und die Zahlen in einer teilweisen Ordnung anordnen, sodass Faktoren, die Teiler anderer Faktoren sind, tiefer im Diagramm stehen. Ein mögliches Hasse-Diagramm könnte so aussehen (von unten nach oben, wobei jede höhere Ebene die Faktoren der darunterliegenden Ebene vervielfacht): Unten: 1 (kein gemeinsamer Teiler außer 1) Dann darüber: 2 (ggT von 40 und 50) Dann darüber: 10 (ggT von 40 und 50 mit der 5 multipliziert) Oben: 200 (kgV von 40 und 50) Nur die Zahlen 1, 2, 10 und 200 müssten in dem Hasse-Diagramm beschriftet werden, mit Linien, die die Teilerbeziehungen (z.B. 1 zu 2, 2 zu 10 und 10 zu 200) symbolisieren.
Calculating Greatest Common Divisor (GCD) Using Prime Factorization
Die Aufgabe fragt nach der koordinierten Primfaktorzerlegung der Zahlen 30, 42 und 105 und dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) dieser drei Zahlen. Zuerst zerlegen wir jede Zahl in ihre Primfaktoren: 30 = 2 × 3 × 5 42 = 2 × 3 × 7 105 = 3 × 5 × 7 Jetzt bestimmen wir die gemeinsamen Primfaktoren von allen drei Zahlen. Die Zahl 2 kommt nur in den Primfaktorzerlegungen von 30 und 42 vor, aber nicht in der von 105. Daher ist 2 nicht Teil des ggT. Die Zahl 3 kommt in allen drei Zerlegungen vor. Das ist der einzige Primfaktor, der in allen drei Zahlen vorhanden ist. Die Zahl 5 kommt in 30 und 105 vor, aber nicht in 42, daher ist sie nicht Teil des ggT. Die Zahl 7 kommt in 42 und 105 vor, aber nicht in 30, also ist sie auch nicht Teil des ggT. Der größte gemeinsame Teiler ist somit der Primfaktor, der in allen Zahlen vorkommt: ggT(30, 42, 105) = 3 Daher ist 3 der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 30, 42 und 105.
Determining the Greatest Common Divisor (GCD) and the Least Common Multiple (LCM) of Three Numbers
Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen, in denen der größte gemeinsame Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von drei Zahlen, 30, 42 und 105, bestimmt werden sollen. a) Für den ersten Teil der Aufgabe soll ein Venn-Diagramm gezeichnet werden, um den ggT zu ermitteln. Ich kann Ihnen leider kein Venn-Diagramm zeichnen, aber ich kann Ihnen erklären, wie man es macht. Die gegebenen Teilersets sind: T_{30} = \{1, 3, 5, 6, 10, 15, 30\} T_{42} = \{1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42\} T_{105} = \{1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105\} In einem Venn-Diagramm würden wir drei sich überschneidende Kreise zeichnen, einen für jede der drei Zahlen. In die Überschneidungen schreiben wir die gemeinsamen Teiler der entsprechenden Zahlen ein. Zum Beispiel würde die Zahl 3, die ein Teiler von allen drei Zahlen ist, im Zentrum, wo sich alle drei Kreise überschneiden, stehen. Auf diese Weise können wir visuell den ggT identifizieren, der der größte Teiler ist, der in allen drei Kreisen zu finden ist. In diesem Fall ist der ggT 3. b) Dann sollen wir das kgV mittels koordinierter Primfaktorzerlegung bestimmen. Zuerst zerlegen wir jede Zahl in ihre Primfaktoren: 30 = 2 \times 3 \times 5 42 = 2 \times 3 \times 7 105 = 3 \times 5 \times 7 Das kgV wird gefunden, indem man jeden Primfaktor in der höchsten Potenz nimmt, die in irgendeiner der Zerlegungen vorkommt. Also haben wir: kgV(30, 42, 105) = 2^{1} \times 3^{1} \times 5^{1} \times 7^{1} = 2 \times 3 \times 5 \times 7 = 210 Das kleinste gemeinsame Vielfache von 30, 42 und 105 ist daher 210.
Finding the GCD and LCM of Numbers
Zur Lösung dieser Aufgabe müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) und den größten gemeinsamen Teiler (ggT) der Zahlen 18, 60 und 50 bestimmen. Beginnen wir mit dem ggT: 1. Zerlegen wir jede Zahl in ihre Primfaktoren. - \( 18 = 2 \times 3^2 \) - \( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \) - \( 50 = 2 \times 5^2 \) 2. Der ggT ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren, genommen mit dem niedrigsten Exponenten, der in allen Zahlen vorkommt. - Der gemeinsame Primfaktor von 18, 60 und 50 ist 2, der mit dem niedrigsten Exponenten einmal vorkommt. - ggT(18, 60, 50) = 2 Nun zum kgV: 1. Das kgV ist das Produkt aller Primfaktoren, die in irgendeiner der Zahlen vorkommen, wobei jeder Faktor mit dem höchsten Exponenten, der in irgendeiner der Zahlen vorkommt, genommen wird. - Wir haben als Primfaktoren 2, 3 und 5. - Der höchste Exponent für 2 ist 2 (in 60), für 3 ist 2 (in 18) und für 5 ist 2 (in 50). - kgV(18, 60, 50) = \( 2^2 \times 3^2 \times 5^2 \) = \( 4 \times 9 \times 25 \) = 900 Um diese Werte in einem Venn-Diagramm zu markieren, würde man eine Kreisgruppe für jede der drei Zahlen zeichnen, wobei der Schnittpunkt aller drei Kreise (der gemeinsame Bereich) die Zahl 2 (den ggT) enthält, und man würde außen an einer Seite, die alle drei Kreise verbindet, das kgV (900) platzieren.
Finding Greatest Common Divisor (GCD) with Primality Decomposition and Euclidean Algorithm
Die Aufgabe besteht darin, den größten gemeinsamen Teiler (ggT) für drei Paare von Zahlen zu finden, einmal mit Hilfe der Primfaktorzerlegung und einmal mit dem euklidischen Algorithmus. Lassen Sie uns die Berechnung für jedes Paar durchführen: a) ggT(866, 78) **Primfaktorzerlegung:** - 866 = 2 x 433 - 78 = 2 x 3 x 13 Der einzige gemeinsame Faktor ist 2, folglich ist der ggT(866, 78) = 2. **Euklidischer Algorithmus:** - 866 = 78 x 11 + 8 - 78 = 8 x 9 + 6 - 8 = 6 x 1 + 2 - 6 = 2 x 3 + 0 Hier können wir sehen, dass der Rest Null wird, wenn wir 6 durch 2 teilen. Daher ist der ggT(866, 78) = 2. b) ggT(1197, 1449) **Primfaktorzerlegung:** - 1197 = 3 x 3 x 7 x 19 - 1449 = 3 x 13 x 37 Beide Zahlen haben die Primzahl 3 als gemeinsamen Faktor. Da 3 zweimal in 1197 vorkommt, aber nur einmal in 1449, ist der ggT(1197, 1449) = 3. **Euklidischer Algorithmus:** - 1449 = 1197 x 1 + 252 - 1197 = 252 x 4 + 189 - 252 = 189 x 1 + 63 - 189 = 63 x 3 + 0 Der Rest wird 0, wenn wir 189 durch 63 teilen, also ist der ggT(1197, 1449) = 63. c) ggT(2061, 4910) **Primfaktorzerlegung:** - 2061 = 3 x 3 x 229 - 4910 = 2 x 5 x 491 Es gibt hier keine gemeinsamen Primfaktoren, daher ist der ggT(2061, 4910) = 1. **Euklidischer Algorithmus:** - 4910 = 2061 x 2 + 788 - 2061 = 788 x 2 + 485 - 788 = 485 x 1 + 303 - 485 = 303 x 1 + 182 - 303 = 182 x 1 + 121 - 182 = 121 x 1 + 61 - 121 = 61 x 1 + 60 - 61 = 60 x 1 + 1 - 60 = 1 x 60 + 0 Da der Rest Null wird, wenn wir 60 durch 1 teilen, ist der ggT(2061, 4910) = 1.
Mathematical Problems: Finding Least Common Multiple (LCM) and Greatest Common Divisor (GCD)
Изображение содержит две математические задачи на тему нахождения наименьшего общего кратного (НОК) и наибольшего общего делителя (НОД) для двух чисел. Для решения этих задач используются свойства делимости чисел. Первая задача требует найти НОК для двух чисел, а вторая задача ставит задачу найти НОД для двух чисел. Давайте начнем с нахождения НОК для первой пары чисел (пункт 1): 18 и 12. Шаг 1: Разложим каждое число на простые множители. 18 = 2 * 3^2 12 = 2^2 * 3 Шаг 2: Выберем максимальные степени каждого простого множителя из разложений. 2 (выберем степень 2, так как 2^2 > 2^1) 3 (выберем степень 2, так как 3^2 > 3^1) Шаг 3: Умножим выбранные степени, чтобы получить НОК. НОК(18, 12) = 2^2 * 3^2 = 4 * 9 = 36 Теперь рассмотрим вторую задачу на НОД для пары чисел (пункт 1): a = 2^3 * 3^5 и b = 2 * 3^2 * 5. Шаг 1: Разложение чисел на простые множители уже дано в условии. Шаг 2: Выберем минимальные степени каждого простого множителя, которые присутствуют в обоих числах. 2 (выберем степень 1, так как 2^1 < 2^3) 3 (выберем степень 2, так как 3^2 < 3^5) Шаг 3: Умножим выбранные степени, чтобы получить НОД. НОД(a, b) = 2^1 * 3^2 = 2 * 9 = 18 Таким образом, НОК для первой пары чисел равен 36, и НОД для второй пары чисел равен 18.
Finding Highest Common Factor by Prime Factorization Method
The question is asking for the highest common factor (HCF), also known as the greatest common divisor (GCD), of the given numbers using the prime factorization method. Let's solve each part one by one: (a) Find the HCF of 12 and 16. First, we find the prime factors of the numbers 12 and 16. 12 = 2 x 2 x 3 (which is also written as \( 2^2 \times 3 \)) 16 = 2 x 2 x 2 x 2 (which is \( 2^4 \)) Now, we look for the common prime factors, which are the factors that are the same in both prime factorizations. The common prime factors are two 2's (since 2^2 is the highest power of 2 that divides both 12 and 16). The HCF is therefore 2 x 2 = 4. (b) Find the HCF of 36 and 90. Now let's find the prime factors of 36 and 90. 36 = 2 x 2 x 3 x 3 (which is \( 2^2 \times 3^2 \)) 90 = 2 x 3 x 3 x 5 (which is \( 2 \times 3^2 \times 5 \)) The common prime factors for 36 and 90 are a 2, and two 3's. The HCF is therefore 2 x 3 x 3 = 18. So the answers are: (a) The HCF of 12 and 16 is 4. (b) The HCF of 36 and 90 is 18.
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