Example Question - function
Here are examples of questions we've helped users solve.
Determining the Nature of Functions
<p>Given the function \( f(x) = x^2 - 5 \).</p> <p>To determine if the function has real roots, we can find the discriminant.</p> <p>The discriminant \( D \) is calculated as \( D = b^2 - 4ac \), where \( a = 1, b = 0, c = -5 \).</p> <p>Thus, \( D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 20 \).</p> <p>Since \( D > 0 \), the function has two distinct real roots.</p> <p>To find the roots, we can use the quadratic formula \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).</p> <p>So, \( x = \frac{-0 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{\pm 2\sqrt{5}}{2} = \pm \sqrt{5} \).</p> <p>Therefore, the roots are \( x = \sqrt{5} \) and \( x = -\sqrt{5} \).</p>
Understanding Functions and Graphs
<p>Để giải bài toán này, ta cần xác định tính chất của hàm số và đồ thị của nó.</p> <p>Câu 1: Xét hàm số \( y = ax^2 + bx + c \) với \( a \neq 0 \).</p> <p>A. Đoạn đồ thị \( P \) của hàm số này là parabol, có đỉnh tại \( \left( \frac{-b}{2a}, \frac{\Delta}{4a} \right) \).</p> <p>B. Đồ thị của hàm số này là \(\{ \frac{b}{a} - \frac{\Delta}{4a} \}\) với \(\Delta = b^2 - 4ac\).</p> <p>C. Giá trị của hàm số tại các điểm này được xác định bởi công thức trên.</p> <p>Câu 2: Tìm tập xác định \( D \) của hàm số \( y = \frac{3x-1}{2x-3} \) cần xác định điều kiện để mẫu khác không bằng 0.</p> <p>D = { x | 2x - 3 \neq 0 } tức là \( x \neq \frac{3}{2} \).</p>
Finding the Domain and Range of a Given Function
<p>The given function is \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} \).</p> <p>To find the domain, we need to identify all values of \( x \) for which the function is defined. The denominator cannot be zero, and the expression under the square root must be non-negative because the root must be a real number.</p> <p>We have the inequality \( 9 - x^2 \geq 0 \) which leads to \( -3 \leq x \leq 3 \).</p> <p>Hence, the domain of \( f(x) \) is \( [-3, 3] \).</p> <p>To find the range, we know that the function is always positive because it is the reciprocal of the square root of a positive number, and the square root function only returns non-negative values.</p> <p>Since the square root function \( \sqrt{9-x^2} \) will have values ranging from \( 0 \) (not included because it would make the denominator zero) to \( 3 \), the reciprocal of this function will range from \( \frac{1}{3} \) to infinity.</p> <p>Hence, the range of \( f(x) \) is \( (0, \infty) \).</p>
Evaluating the Limit of a Function as x Approaches Infinity
<p>La question demande d'évaluer la limite suivante :</p> <p>\[2 \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{2x} \right)\]</p> <p>Pour résoudre cette limite, on suit les étapes suivantes :</p> <p>\[2 \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{2x} \right) = 2 \cdot \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{2x} \right)\]</p> <p>Étant donné que \(\frac{1}{2x}\) tend vers 0 lorsque \(x\) tend vers l'infini :</p> <p>\[\lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{2x} \right) = 0\]</p> <p>On obtient donc :</p> <p>\[2 \cdot 0 = 0\]</p> <p>La réponse est donc 0.</p>
Finding the Derivative of a Function Involving a Product of a Polynomial and a Trigonometric Function
Для нахождения производной данной функции \( f(x) = (4x^4 + 2) \cos(x) \), воспользуемся правилом произведения. <p> \( f'(x) = (4x^4 + 2)' \cos(x) + (4x^4 + 2) \cdot (\cos(x))' \) </p> <p> \( f'(x) = (16x^3) \cos(x) + (4x^4 + 2) \cdot (-\sin(x)) \) </p> <p> \( f'(x) = 16x^3 \cos(x) - (4x^4 + 2) \sin(x) \) </p> Итак, производная функции \( f(x) \): <p> \( f'(x) = 16x^3 \cos(x) - (4x^4 + 2) \sin(x) \) </p>
Calculation of a Function's Derivative
Дадената функция е: <p>\( y = \frac{x^5 - 4}{x^2 - 4x} \)</p> За да намерим производната \( y' \), ще приложим правилото за частно (quotient rule): <p>\( y' = \frac{(u'v - uv')}{v^2} \)</p> където \( u = x^5 - 4 \) и \( v = x^2 - 4x \). След това намираме \( u' \) и \( v' \): <p>\( u' = 5x^4 \)</p> <p>\( v' = 2x - 4 \)</p> Сега изчисляваме производната \( y' \) чрез заместване на \( u', u, v', v \): <p>\( y' = \frac{(5x^4)(x^2 - 4x) - (x^5 - 4)(2x - 4)}{(x^2 - 4x)^2} \)</p> <p>\( y' = \frac{5x^6 - 20x^5 - (2x^6 - 4x^5 - 8x + 16)}{x^4 - 8x^3 + 16x^2} \)</p> <p>\( y' = \frac{5x^6 - 20x^5 - 2x^6 + 4x^5 + 8x - 16}{x^4 - 8x^3 + 16x^2} \)</p> <p>\( y' = \frac{3x^6 - 16x^5 + 8x - 16}{x^4 - 8x^3 + 16x^2} \)</p> Това е производната на функцията.
Calculating the Derivative of a Function
<p>Для начала упростим функцию, записав её в виде: \( f(x) = x^{-5} - \frac{11}{3}x^{\frac{1}{3}} \).</p> <p>Теперь найдём производную каждого слагаемого функции:</p> <p>Производная \( x^{-5} \) по правилу производной степени равна \( -5x^{-5-1} = -5x^{-6} \).</p> <p>Производная \( \frac{11}{3}x^{\frac{1}{3}} \) аналогично равна \( \frac{11}{3} \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{11}{9}x^{-\frac{2}{3}} \).</p> <p>Таким образом, производная функции равна:</p> <p>\( f'(x) = -5x^{-6} - \frac{11}{9}x^{-\frac{2}{3}} \).</p>
Finding the Derivative of a Given Function
<p>Дана функция: \( f(x) = \frac{1}{x^5} - \frac{11}{3} \sqrt[3]{x} \)</p> <p>Применим правило дифференцирования степенной функции:</p> <p>\( f'(x) = \left( \frac{1}{x^5} \right)' - \left( \frac{11}{3} \sqrt[3]{x} \right)' \)</p> <p>\( f'(x) = (-5) \cdot x^{-5 - 1} - \frac{11}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} - 1} \)</p> <p>\( f'(x) = -5x^{-6} - \frac{11}{9}x^{-\frac{2}{3}} \)</p> <p>Приведем производную к окончательному виду:</p> <p>\( f'(x) = -\frac{5}{x^6} - \frac{11}{9x^{\frac{2}{3}}} \)</p>
Find the Derivative of a Function
<p>\( \frac{d}{dx} \left( x^8 - \frac{1}{x} \right) \)</p> <p>= \( \frac{d}{dx} \left( x^8 \right) - \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) \)</p> <p>= \( 8x^{8-1} - \left( -x^{-2} \right) \)</p> <p>= \( 8x^7 + x^{-2} \)</p> <p>= \( 8x^7 + \frac{1}{x^2} \)</p>
Find the Derivative of the Function
<p>\( f(x) = x^8 - \frac{1}{x} \)</p> <p>Для того чтобы найти производную данной функции, используем правило дифференцирования степенной функции и правило дифференцирования частного.</p> <p>\( f'(x) = \frac{d}{dx} (x^8) - \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) \)</p> <p>\( f'(x) = 8x^{8-1} - (-1)x^{-1-1} \)</p> <p>\( f'(x) = 8x^7 + x^{-2} \)</p> <p>Таким образом, производная функции \( f(x) \) равна:</p> <p>\( f'(x) = 8x^7 + x^{-2} \)</p>
Calculus Problem Related to Limits and Continuity
由于图片中的文字不够清晰，我无法看清具体的数学问题和表达式。因此，提供准确解答的能力受到限制。如果你能提供更清晰的图片或者用文字描述问题，我会很乐意帮助解决数学问题。
Properties of a Mathematical Function
<p>Функция \( y = f(x) \) называется нечётной, если для всех \( x \) из области определения выполняется равенство \( f(-x) = -f(x) \).</p>
Determining the Domain and Range from a Graph
<p>The graph shows a function with two distinct parts. The first part is decreasing and the second part is increasing. There is a break in the graph where the function is not defined.</p> <p>To find the domain, we look for the x-values that the function covers. By observing the graph, we see that the function is defined for all x except for a portion where x is between -4 and 3. Thus the domain is \( x < -4 \) or \( x > 3 \).</p> <p>The range of a function is the set of all possible output values (y-values), which result from using the function's formula. By examining the graph, we see that as \( x \) approaches -4 from the left, the y-values decrease without bound, and as \( x \) approaches 3 from the right, the y-values increase without bound. Therefore, the range of the function is all real numbers, which can be denoted as \( -\infty < y < \infty \) or simply \( y \in \mathbb{R} \).</p>
Determining the Domain and Range from a Graph
\[ \text{Domain: } \{ x \mid x < -4 \text{ or } x \geq 4\} \] \[ \text{Range: } \{ y \mid y \geq 4 \} \]
Finding the Point of Greatest Derivative Value
Исходя из графика функции \( y = f(x) \), нам нужно определить, в какой точке производная этой функции имеет наибольшее значение. Производная функции соответствует наклону касательной к графику функции. Поэтому, наибольшее значение производной будет в той точке, где касательная наиболее круто направлена вверх. <p>1. Анализируем график и смотрим на крутизну наклонов касательных в данных точках:</p> <p>(а) \( x = -5.2 \): касательная имеет отрицательный наклон.</p> <p>(б) \( x = -3.8 \): касательная также имеет отрицательный наклон.</p> <p>(в) \( x = -2.8 \): наклон касательной положительный, но не крутой.</p> <p>(г) \( x = 1.4 \): наклон касательной очень крутой и положительный.</p> <p>(д) \( x = 4.6 \): касательная имеет положительный наклон, но менее крутой, чем в точке \( x = 1.4 \).</p> <p>2. Делаем вывод, что наибольший наклон касательной, и, следовательно, наибольшее значение производной функции наблюдается в точке:</p> <p>\[ x = 1.4 \]</p>
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com