Example Question - auxiliary equation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving a Differential Equation Given Non-Root Constraint
<p>Para resolver este problema, necesitamos trabajar con la ecuación diferencial y la ecuación auxiliar dadas.</p> <p>La ecuación diferencial dada es:</p> <p>\( ay'' + by' + cy = e^{kx} \)</p> <p>La ecuación auxiliar asociada es:</p> <p>\( am^2 + bm + c = 0 \)</p> <p>Dado que \(k\) no es una raíz de la ecuación auxiliar, podemos intentar encontrar una solución particular de la forma \( y_p = Ae^{kx} \).</p> <p>Sustituimos \( y_p \) en la ecuación diferencial:</p> <p>\( a(Ae^{kx})'' + b(Ae^{kx})' + c(Ae^{kx}) = e^{kx} \)</p> <p>Diferenciando encontramos:</p> <p>\( (Ae^{kx})' = Ak e^{kx} \)</p> <p>\( (Ae^{kx})'' = A k^2 e^{kx} \)</p> <p>Sustituyendo las derivadas de vuelta en la ecuación original:</p> <p>\( a(Ak^2e^{kx}) + b(Ake^{kx}) + c(Ae^{kx}) = e^{kx} \)</p> <p>Sacamos factor común \( Ae^{kx} \):</p> <p>\( Ae^{kx}(ak^2 + bk + c) = e^{kx} \)</p> <p>Cancelamos \( e^{kx} \) en ambos lados y resolvemos para \( A \):</p> <p>\( A(ak^2 + bk + c) = 1 \)</p> <p>\( A = \frac{1}{ak^2 + bk + c} \)</p> <p>Por lo tanto, hemos encontrado una solución particular de la forma \( y_p = Ae^{kx} \), donde \( A = \frac{1}{ak^2 + bk + c} \), siempre que \( k \) no sea raíz de la ecuación auxiliar.</p>
Differential Equation with Exponential Nonhomogeneous Term
<p>La ecuación diferencial dada es \( ay'' + by' + cy = e^{\lambda x} \), y la ecuación auxiliar es \( am^2 + bm + c = 0 \).</p> <p>Suponemos una solución particular de la forma \( y_p = Ae^{\lambda x} \).</p> <p>Sustituimos \( y_p \) en la ecuación diferencial original:</p> <p>\( a(Ae^{\lambda x})'' + b(Ae^{\lambda x})' + c(Ae^{\lambda x}) = e^{\lambda x} \)</p> <p>\( aA\lambda^2e^{\lambda x} + bA\lambda e^{\lambda x} + cAe^{\lambda x} = e^{\lambda x} \)</p> <p>Factorizamos \( Ae^{\lambda x} \):</p> <p>\( Ae^{\lambda x}(a\lambda^2 + b\lambda + c) = e^{\lambda x} \)</p> <p>Como \( \lambda \) no es raíz de la ecuación auxiliar, \( a\lambda^2 + b\lambda + c \neq 0 \).</p> <p>Por lo tanto, podemos dividir ambos lados de la ecuación por \( e^{\lambda x} \) y por \( a\lambda^2 + b\lambda + c \):</p> <p>\( A = \frac{1}{a\lambda^2 + b\lambda + c} \)</p> <p>Así que se puede encontrar una solución particular de la forma:</p> <p>\( y_p = \frac{1}{a\lambda^2 + b\lambda + c} e^{\lambda x} \)</p>
Solving a Differential Equation with an Exponential Non-Homogeneous Term
<p>Sustituya \(y_p = Ae^{kx}\) en la ecuación diferencial \(ay'' + by' + cy = e^{kx}\).</p> <p>Encontrando las derivadas de \(y_p\):</p> <p>\(y_p' = Ake^{kx}\)</p> <p>\(y_p'' = Ak^2e^{kx}\)</p> <p>Sustituyendo en la ecuación diferencial:</p> <p>\(a(Ak^2e^{kx}) + b(Ake^{kx}) + c(Ae^{kx}) = e^{kx}\)</p> <p>Factorizando \(Ae^{kx}\):</p> <p>\(Ae^{kx}(ak^2 + bk + c) = e^{kx}\)</p> <p>Como \(e^{kx} \neq 0\), podemos dividir ambos lados de la ecuación por \(e^{kx}\):</p> <p>\(A(ak^2 + bk + c) = 1\)</p> <p>Resolviendo para \(A\):</p> <p>\(A = \frac{1}{ak^2 + bk + c}\)</p> <p>Dado que \(k\) no es una raíz de la ecuación auxiliar \(am^2 + bm + c = 0\), \(ak^2 + bk + c \neq 0\).</p> <p>Por tanto, \(A\) está bien definido y la solución particular \(y_p = Ae^{kx}\) es válida.</p>
Solving a Differential Equation with Exponential Nonhomogeneous Term
<p>Se nos da la ecuación diferencial lineal no homogénea:</p> \[ a y'' + b y' + cy = e^{kx} \] <p>y la ecuación auxiliar asociada:</p> \[ am^2 + bm + c = 0 \] <p>Para a), se pide demostrar que si \( k \) no es una raíz de la ecuación auxiliar, entonces existe una solución particular de la forma \( y_p = Ae^{kx} \).</p> <p>Para encontrar \( A \), sustituimos \( y_p \) en la ecuación diferencial original:</p> \[ a(Ae^{kx})'' + b(Ae^{kx})' + c(Ae^{kx}) = e^{kx} \] \[ aAk^2e^{kx} + bAke^{kx} + cAe^{kx} = e^{kx} \] <p>Agrupamos los términos semejantes:</p> \[ e^{kx}(aAk^2 + bAk + cA) = e^{kx} \] <p>Igualamos los coeficientes de \( e^{kx} \):</p> \[ aAk^2 + bAk + cA = 1 \] <p>Despejamos \( A \):</p> \[ A = \frac{1}{ak^2 + bk + c} \] <p>Dado que \( k \) no es raíz de la ecuación auxiliar \( am^2 + bm + c = 0 \), significa que \( ak^2 + bk + c \neq 0 \), por lo que \( A \) está bien definido y existe una solución particular de la forma dada. Esto demuestra la afirmación.</p>
Differential Equation with Exponential Nonhomogeneous Term
Para encontrar una solución particular de la ecuación diferencial dada \(a y'' + b y' + c y = e^{kx}\), asumimos una solución de la forma \(y_p = Ae^{kx}\). Sustituimos \(y_p\), \(y_p'\), y \(y_p''\) en la ecuación diferencial original: <p>\(y_p'' = A k^2 e^{kx}\)</p> <p>\(y_p' = A k e^{kx}\)</p> <p>\(y_p = A e^{kx}\)</p> <p>\(a(A k^2 e^{kx}) + b(A k e^{kx}) + c(A e^{kx}) = e^{kx}\)</p> <p>\(A(ak^2 + bk + c)e^{kx} = e^{kx}\)</p> Ya que \(e^{kx}\) no es cero, podemos resolver para \(A\): <p>\(A(ak^2 + bk + c) = 1\)</p> <p>\(A = \frac{1}{ak^2 + bk + c}\)</p> Este es el valor de \(A\) siempre y cuando \(k\) no sea una raíz de la ecuación auxiliar \(am^2+ bm + c = 0\). Si \(k\) fuera una raíz, el denominador \(ak^2 + bk + c\) sería cero y la solución no sería válida.
Demonstration of Particular Solution to a Differential Equation
<p>Para demostrar que se puede encontrar una solución particular de la forma \( y_p = Ae^{kx} \) para la ecuación diferencial \( ay'' + by' + cy = e^{kx} \), asumimos que \( k \) no es una raíz de la ecuación auxiliar homogénea \( am^2 + bm + c = 0 \).</p> <p>Sustituimos \( y_p \) en la ecuación diferencial dada:</p> <p>\( a(Ae^{kx})'' + b(Ae^{kx})' + c(Ae^{kx}) = e^{kx} \)</p> <p>\( aAe^{kx}k^2 + bAe^{kx}k + cAe^{kx} = e^{kx} \)</p> <p>Ahora factorizamos \( Ae^{kx} \) y comparamos los coeficientes:</p> <p>\( Ae^{kx}(ak^2 + bk + c) = e^{kx} \)</p> <p>Como \( k \) no es una raíz de la ecuación auxiliar, \( ak^2 + bk + c \neq 0 \). Por lo tanto, podemos despejar \( A \):</p> <p>\( A = \frac{1}{ak^2 + bk + c} \)</p> <p>Esto completa la demostración, mostrando que \( A \) tiene el valor indicado y que \( y_p = Ae^{kx} \) es una solución particular válida de la ecuación diferencial dada cuando \( k \) no es una raíz de la ecuación auxiliar homogénea.</p>
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