Question - Solving a Differential Equation with an Exponential Non-Homogeneous Term

Sustituya \(y_p = Ae^{kx}\) en la ecuación diferencial \(ay'' + by' + cy = e^{kx}\).

Encontrando las derivadas de \(y_p\):

\(y_p' = Ake^{kx}\)

\(y_p'' = Ak^2e^{kx}\)

Sustituyendo en la ecuación diferencial:

\(a(Ak^2e^{kx}) + b(Ake^{kx}) + c(Ae^{kx}) = e^{kx}\)

Factorizando \(Ae^{kx}\):

\(Ae^{kx}(ak^2 + bk + c) = e^{kx}\)

Como \(e^{kx} \neq 0\), podemos dividir ambos lados de la ecuación por \(e^{kx}\):

\(A(ak^2 + bk + c) = 1\)

Resolviendo para \(A\):

\(A = \frac{1}{ak^2 + bk + c}\)

Dado que \(k\) no es una raíz de la ecuación auxiliar \(am^2 + bm + c = 0\), \(ak^2 + bk + c \neq 0\).

Por tanto, \(A\) está bien definido y la solución particular \(y_p = Ae^{kx}\) es válida.