Para demostrar que se puede encontrar una solución particular de la forma \( y_p = Ae^{kx} \) para la ecuación diferencial \( ay'' + by' + cy = e^{kx} \), asumimos que \( k \) no es una raíz de la ecuación auxiliar homogénea \( am^2 + bm + c = 0 \).
Sustituimos \( y_p \) en la ecuación diferencial dada:
\( a(Ae^{kx})'' + b(Ae^{kx})' + c(Ae^{kx}) = e^{kx} \)
\( aAe^{kx}k^2 + bAe^{kx}k + cAe^{kx} = e^{kx} \)
Ahora factorizamos \( Ae^{kx} \) y comparamos los coeficientes:
\( Ae^{kx}(ak^2 + bk + c) = e^{kx} \)
Como \( k \) no es una raíz de la ecuación auxiliar, \( ak^2 + bk + c \neq 0 \). Por lo tanto, podemos despejar \( A \):
\( A = \frac{1}{ak^2 + bk + c} \)
Esto completa la demostración, mostrando que \( A \) tiene el valor indicado y que \( y_p = Ae^{kx} \) es una solución particular válida de la ecuación diferencial dada cuando \( k \) no es una raíz de la ecuación auxiliar homogénea.
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