Question - Solving a Differential Equation with Exponential Nonhomogeneous Term

Solution:

Se nos da la ecuación diferencial lineal no homogénea:

\[ a y'' + b y' + cy = e^{kx} \]

y la ecuación auxiliar asociada:

\[ am^2 + bm + c = 0 \]

Para a), se pide demostrar que si \( k \) no es una raíz de la ecuación auxiliar, entonces existe una solución particular de la forma \( y_p = Ae^{kx} \).

Para encontrar \( A \), sustituimos \( y_p \) en la ecuación diferencial original:

\[ a(Ae^{kx})'' + b(Ae^{kx})' + c(Ae^{kx}) = e^{kx} \] \[ aAk^2e^{kx} + bAke^{kx} + cAe^{kx} = e^{kx} \]

Agrupamos los términos semejantes:

\[ e^{kx}(aAk^2 + bAk + cA) = e^{kx} \]

Igualamos los coeficientes de \( e^{kx} \):

\[ aAk^2 + bAk + cA = 1 \]

Despejamos \( A \):

\[ A = \frac{1}{ak^2 + bk + c} \]

Dado que \( k \) no es raíz de la ecuación auxiliar \( am^2 + bm + c = 0 \), significa que \( ak^2 + bk + c \neq 0 \), por lo que \( A \) está bien definido y existe una solución particular de la forma dada. Esto demuestra la afirmación.

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