Question - Solving a Differential Equation Given Non-Root Constraint

Para resolver este problema, necesitamos trabajar con la ecuación diferencial y la ecuación auxiliar dadas.

La ecuación diferencial dada es:

\( ay'' + by' + cy = e^{kx} \)

La ecuación auxiliar asociada es:

\( am^2 + bm + c = 0 \)

Dado que \(k\) no es una raíz de la ecuación auxiliar, podemos intentar encontrar una solución particular de la forma \( y_p = Ae^{kx} \).

Sustituimos \( y_p \) en la ecuación diferencial:

\( a(Ae^{kx})'' + b(Ae^{kx})' + c(Ae^{kx}) = e^{kx} \)

Diferenciando encontramos:

\( (Ae^{kx})' = Ak e^{kx} \)

\( (Ae^{kx})'' = A k^2 e^{kx} \)

Sustituyendo las derivadas de vuelta en la ecuación original:

\( a(Ak^2e^{kx}) + b(Ake^{kx}) + c(Ae^{kx}) = e^{kx} \)

Sacamos factor común \( Ae^{kx} \):

\( Ae^{kx}(ak^2 + bk + c) = e^{kx} \)

Cancelamos \( e^{kx} \) en ambos lados y resolvemos para \( A \):

\( A(ak^2 + bk + c) = 1 \)

\( A = \frac{1}{ak^2 + bk + c} \)

Por lo tanto, hemos encontrado una solución particular de la forma \( y_p = Ae^{kx} \), donde \( A = \frac{1}{ak^2 + bk + c} \), siempre que \( k \) no sea raíz de la ecuación auxiliar.