Question - Differential Equation with Exponential Nonhomogeneous Term

La ecuación diferencial dada es \( ay'' + by' + cy = e^{\lambda x} \), y la ecuación auxiliar es \( am^2 + bm + c = 0 \).

Suponemos una solución particular de la forma \( y_p = Ae^{\lambda x} \).

Sustituimos \( y_p \) en la ecuación diferencial original:

\( a(Ae^{\lambda x})'' + b(Ae^{\lambda x})' + c(Ae^{\lambda x}) = e^{\lambda x} \)

\( aA\lambda^2e^{\lambda x} + bA\lambda e^{\lambda x} + cAe^{\lambda x} = e^{\lambda x} \)

Factorizamos \( Ae^{\lambda x} \):

\( Ae^{\lambda x}(a\lambda^2 + b\lambda + c) = e^{\lambda x} \)

Como \( \lambda \) no es raíz de la ecuación auxiliar, \( a\lambda^2 + b\lambda + c \neq 0 \).

Por lo tanto, podemos dividir ambos lados de la ecuación por \( e^{\lambda x} \) y por \( a\lambda^2 + b\lambda + c \):

\( A = \frac{1}{a\lambda^2 + b\lambda + c} \)

Así que se puede encontrar una solución particular de la forma:

\( y_p = \frac{1}{a\lambda^2 + b\lambda + c} e^{\lambda x} \)