Question - Differential Equation with Exponential Nonhomogeneous Term
Solution:
Para encontrar una solución particular de la ecuación diferencial dada \(a y'' + b y' + c y = e^{kx}\), asumimos una solución de la forma \(y_p = Ae^{kx}\).
Sustituimos \(y_p\), \(y_p'\), y \(y_p''\) en la ecuación diferencial original:
\(y_p'' = A k^2 e^{kx}\)
\(y_p' = A k e^{kx}\)
\(y_p = A e^{kx}\)
\(a(A k^2 e^{kx}) + b(A k e^{kx}) + c(A e^{kx}) = e^{kx}\)
\(A(ak^2 + bk + c)e^{kx} = e^{kx}\)
Ya que \(e^{kx}\) no es cero, podemos resolver para \(A\):\(A(ak^2 + bk + c) = 1\)
\(A = \frac{1}{ak^2 + bk + c}\)
Este es el valor de \(A\) siempre y cuando \(k\) no sea una raíz de la ecuación auxiliar \(am^2+ bm + c = 0\). Si \(k\) fuera una raíz, el denominador \(ak^2 + bk + c\) sería cero y la solución no sería válida.CamTutor
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