Example Question - vertex
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding the Vertex of a Quadratic Function
<p>Para encontrar el vértice de la función cuadrática \( f(x) = 2x^2 - 8x \), podemos usar la fórmula del vértice para una parábola de la forma \( ax^2 + bx + c \), donde el vértice está dado por \( h = -\frac{b}{2a} \).</p> <p>En este caso, \( a = 2 \) y \( b = -8 \). Sustituyendo estos valores en la fórmula:</p> <p>\( h = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \)</p> <p>Para encontrar el valor de \( k \), el cual es el valor de \( f(x) \) en \( h \):</p> <p>\( k = f(2) = 2(2)^2 - 8(2) = 2 \cdot 4 - 16 = 8 - 16 = -8 \)</p> <p>Así, el vértice de la parábola es \( (h, k) = (2, -8) \).</p>
Finding the Vertex of a Quadratic Function
Para encontrar el vértice de una función cuadrática de la forma \( f(x) = ax^2 + bx + c \), podemos usar la fórmula del vértice \( \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) \). <p>La función dada es \( f(x) = 12x - 2x^2 \), que se puede reescribir como \( f(x) = -2x^2 + 12x \).</p> <p>Comparando con la forma estándar \( ax^2 + bx + c \), tenemos \( a = -2 \), \( b = 12 \), y \( c = 0 \).</p> <p>Usamos la fórmula del vértice para encontrar la coordenada x del vértice: \( -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2(-2)} = -\frac{12}{-4} = 3 \).</p> <p>Para encontrar la coordenada y del vértice, substituimos \( x \) con \( 3 \) en la función \( f(x) \):</p> <p>\( f(3) = -2(3)^2 + 12(3) = -2(9) + 36 = -18 + 36 = 18 \).</p> <p>Por lo tanto, el vértice de la función cuadrática es \( (3, 18) \).</p>
Finding the Vertex of a Quadratic Function
<p>La función cuadrática dada es \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \).</p> <p>Para encontrar el vértice de una función cuadrática en la forma \( y = ax^2 + bx + c \), usamos la fórmula para \( x \) del vértice \( x_v = \frac{-b}{2a} \).</p> <p>Sustituimos \( a = 1 \) y \( b = -4 \) en la fórmula:</p> <p>\[ x_v = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \]</p> <p>Ahora, encontramos el valor de \( y \) sustituyendo \( x_v \) en la ecuación original:</p> <p>\[ f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \]</p> <p>Por lo tanto, el vértice de la función cuadrática es \( (2, -1) \).</p>
Graphing and Analyzing Parabolas
Para la función \( f(x) = 2x^2 - 6x + 4 \), necesitamos determinar la orientación, el eje de simetría, el vértice, los ceros (si los hay), las intercepciones con los ejes, el dominio y el recorrido. Primero, encontramos la fórmula del eje de simetría de una parábola de la forma \( ax^2+bx+c \), que es \( x = -\frac{b}{2a} \). <p>\( x = -\frac{-6}{2(2)} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)</p> El eje de simetría es: <p>\( x = \frac{3}{2} \)</p> El vértice de la parábola está en el eje de simetría, así que sustituimos \( x \) por \( \frac{3}{2} \) en \( f(x) \) para encontrar el valor de \( y \) en el vértice. <p>\( f(\frac{3}{2}) = 2(\frac{3}{2})^2 - 6(\frac{3}{2}) + 4 \)</p> <p>\( f(\frac{3}{2}) = 2(\frac{9}{4}) - 9 + 4 \)</p> <p>\( f(\frac{3}{2}) = \frac{18}{4} - \frac{36}{4} + \frac{16}{4} \)</p> <p>\( f(\frac{3}{2}) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \)</p> Entonces, el vértice es: <p>\( V(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}) \)</p> Dado que el coeficiente de \( x^2 \) es positivo, la parábola se abre hacia arriba: <p>Orientación: Hacia arriba</p> Para encontrar los ceros, debemos resolver \( 2x^2 - 6x + 4 = 0 \). Podemos utilizar la fórmula cuadrática o factorizar si es posible. La fórmula cuadrática es \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \). <p>\( x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(2)(4)}}{2(2)} \)</p> <p>\( x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{4} \)</p> <p>\( x = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{4} \)</p> <p>\( x = \frac{6 \pm 2}{4} \)</p> Esto nos da dos ceros: <p>\( x = \frac{8}{4} = 2 \) y \( x = \frac{4}{4} = 1 \)</p> Los ceros son: <p>\( x = 1 \) y \( x = 2 \)</p> El dominio de cualquier parábola es todos los números reales: <p>Dominio: \( (-\infty, \infty) \)</p> El recorrido, dado que la parábola se abre hacia arriba y el vértice es el punto más bajo, será de \( y \) en el vértice (mínimo \( y \)) hasta infinito. <p>Recorrido: \( [-\frac{1}{2}, \infty) \)</p> Las intercepciones con los ejes \( x \) son los ceros: <p>\( (1,0) \) y \( (2,0) \)</p> Para el intercepto con el eje \( y \), evaluamos \( f(0) \): <p>\( f(0) = 2(0)^2 - 6(0) + 4 = 4 \)</p> <p>Intercepto en \( y \): \( (0,4) \)</p>
Analysis of Parabolic Functions
Para la función \( y = 2x^2 - 8x + 4 \): <p>Eje de simetría: \( x = \frac{-b}{2a} = \frac{8}{4} = 2 \)</p> <p>Vértice: Sustituir \( x = 2 \) en la ecuación para obtener \( y \). Entonces \( y = 2(2)^2 - 8(2) + 4 = 8 - 16 + 4 = -4 \). Entonces el vértice es \( (2, -4) \).</p> <p>Intercepto y: Cuando \( x = 0 \), \( y = 4 \).</p> <p>Ceros: Factorizar o usar la fórmula cuadrática si es necesario. \( 2x^2 - 8x + 4 = 0 \). Utilizando factorización: \( 2(x^2 - 4x + 2) = 0 \). Esta ecuación no se factoriza con números enteros, por lo tanto, se aplica la fórmula cuadrática: \( x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2-4(2)(4)}}{2(2)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{4} = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{4} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{4} = 2 \pm \sqrt{2} \).</p> <p>Dominio: Todos los valores reales de \( x \).</p> <p>Recorrido: Dado que \( a > 0 \), la parábola se abre hacia arriba y el recorrido es \( y \geq -4 \).</p> Para la función \( y = -2x^2 - 4 \): <p>Eje de simetría: \( x = \frac{-b}{2a} = \frac{0}{-4} = 0 \).</p> <p>Vértice: Sustituir \( x = 0 \) en la ecuación para obtener \( y \). Entonces \( y = -2(0)^2 - 4 = -4 \). Entonces el vértice es \( (0, -4) \).</p> <p>Intercepto y: Cuando \( x = 0 \), \( y = -4 \).</p> <p>Ceros: Factorizar o usar la fórmula cuadrática si es necesario. \( -2x^2 - 4 = 0 \). Factorizar: \( -2(x^2 + 2) = 0 \). Esta ecuación no tiene soluciones reales porque la suma de un cuadrado y un número positivo nunca puede ser cero, así que no hay ceros.</p> <p>Dominio: Todos los valores reales de \( x \).</p> <p>Recorrido: Dado que \( a < 0 \), la parábola se abre hacia abajo y el recorrido es \( y \leq -4 \).</p>
Analysis of Parabola Characteristics
La imagen proporciona dos funciones cuadráticas para analizar sus características. Vamos a determinar estas características para la primera función \( f(x) = 2x^2 - 6x - 4 \). <p>Para encontrar la orientación de la parábola, observamos el coeficiente líder \(a\).</p> <p>Si \( a > 0 \), la parábola se abre hacia arriba. Si \( a < 0 \), se abre hacia abajo.</p> <p>En nuestro caso, \( a = 2 \), por lo que la parábola se abre hacia arriba.</p> <p>El eje de simetría de una parábola se encuentra en \( x = -\frac{b}{2a} \).</p> <p>Sustituimos \( a = 2 \), \( b = -6 \) para obtener \( x = -\frac{-6}{2 \cdot 2} = \frac{3}{2} \).</p> <p>El vértice de la parábola se encuentra en el punto \( (\frac{-b}{2a}, f(\frac{-b}{2a})) \).</p> <p>Calculamos \( f(\frac{3}{2}) = 2(\frac{3}{2})^2 - 6(\frac{3}{2}) - 4 \).</p> <p>El vértice es \( (\frac{3}{2}, -\frac{25}{4}) \).</p> <p>El intercepto en x son los ceros de la función, donde \( f(x) = 0 \).</p> <p>Resolvemos \( 2x^2 - 6x - 4 = 0 \) usando la fórmula cuadrática o factorización para encontrar los ceros.</p> <p>El intercepto en y es \( f(0) \), es decir, \( -4 \).</p> <p>El dominio de cualquier función cuadrática es \( (-\infty, \infty) \).</p> <p>El recorrido (rango) depende de la orientación de la parábola. Como se abre hacia arriba, el rango es \( [f(\frac{-b}{2a}), \infty) \), es decir, \( [-\frac{25}{4}, \infty) \).</p> Este es un análisis completo para la primera función. Para la segunda función, se seguiría un proceso similar.
Finding Turning Point and Line of Symmetry of Quadratic Function
The question presented in the image is asking for the coordinates of the turning point (vertex) and the line of symmetry on the graph of the quadratic function \( y = 2x^2 + 2x - 1 \). To find the turning point, we first find the derivative of the function (to find the x-coordinate where the slope of the tangent is zero) and then substitute this x-coordinate back into the original function to get the y-coordinate. The derivative of \( y = 2x^2 + 2x - 1 \) with respect to \( x \) is: \[ \frac{dy}{dx} = 4x + 2 \] Setting the derivative equal to zero to find the x-coordinate of the turning point: \[ 4x + 2 = 0 \] \[ 4x = -2 \] \[ x = -\frac{1}{2} \] Substitute \( x = -\frac{1}{2} \) into the original equation to get the y-coordinate: \[ y = 2(-\frac{1}{2})^2 + 2(-\frac{1}{2}) - 1 \] \[ y = 2(\frac{1}{4}) - 1 - 1 \] \[ y = \frac{1}{2} - 2 \] \[ y = -\frac{3}{2} \] So the turning point's coordinates are \( (-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}) \). The line of symmetry for a parabola given by a quadratic function is always a vertical line that passes through the x-coordinate of the vertex. Thus, the line of symmetry for this graph is \( x = -\frac{1}{2} \).
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