Example Question - uniqueness theorem
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Differential Equation with Existence and Uniqueness Theorem
La ecuación diferencial dada es: <p>\[\frac{dP}{dt} = P(1 - P)\]</p> Para encontrar puntos \((x, y)\) donde el teorema de existencia y unicidad no pueda garantizarse, necesitamos identificar puntos donde la función \(f(P) = P(1 - P)\) o sus derivadas parciales no sean continuas. Sin embargo, \(f(P)\) y su derivada \(\frac{df}{dP}\) son continuas para todo \(P\) real. El teorema de existencia y unicidad nos dice que si \(f\) y \(\frac{df}{dP}\) son continuas en algunos intervalos abiertos conteniendo \(P_0\), entonces una y solo una solución existe localmente alrededor del punto \((t_0, P_0)\). En este caso, como \(f(P) = P(1 - P)\) es un polinomio, es continuo y diferenciable en todas partes, y por lo tanto, su derivada también es continua. Dado que no hay puntos donde \(f(P)\) o \(\frac{df}{dP}\) sean discontinuas, no hay puntos \( (x, y) \) donde el teorema de existencia y unicidad no pueda garantizarse para esta ecuación en particular.
Differential Equation and Existence and Uniqueness Theorem
<p>La ecuación diferencial dada es:</p> \[ \frac{dP}{dt} = P(1 - P) \] <p>Para encontrar un punto \( (t, P(t)) \) donde el teorema de existencia y unicidad no se garantiza, necesitamos identificar puntos donde las funciones \( f(t, P) = P(1 - P) \) y su derivada parcial con respecto a \( P \), \( \frac{\partial f}{\partial P} \), no son continuas o no están definidas. </p> <p>La función \( f(t, P) \) es continua y diferenciable con respecto a \( P \) en todo \( \mathbb{R}^2 \). Por lo tanto, no hay puntos en el plano \( (t, P) \) donde el teorema de existencia y unicidad no pueda garantizarse basado en la continuidad y diferenciabilidad de \( f \) y \( \frac{\partial f}{\partial P} \).</p> <p>Dicho esto, la ecuación diferencial original no presenta una situación donde el teorema de existencia y unicidad no se podría garantizar, ya que no hay singularidades ni discontinuidades.</p>
Solving a Differential Equation
<p>La ecuación diferencial que se proporciona es:</p> <p>\[\frac{dP}{dt} = \alpha(P_{1} - P)\]</p> <p>Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden, que puede resolverse utilizando el método de las variables separables. Moviendo los términos correspondientes a cada lado de la ecuación, se obtiene:</p> <p>\[\frac{dP}{\alpha(P_{1} - P)} = dt\]</p> <p>Integrando ambos lados de la ecuación, se tiene:</p> <p>\[\int \frac{1}{\alpha(P_{1} - P)} dP = \int dt\]</p> <p>Resolviendo la integral del lado izquierdo (utilizando \(u = P_{1} - P\) y \(du = -dP\)), nos da:</p> <p>\[-\frac{1}{\alpha} \int \frac{1}{u} du = \int dt\]</p> <p>\[-\frac{1}{\alpha} \ln|P_{1} - P| = t + C\]</p> <p>donde \(C\) es la constante de integración. Para resolver para \(P\), se puede exponentiar ambos lados para deshacer el logaritmo:</p> <p>\[|P_{1} - P| = e^{-\alpha(t + C)}\]</p> <p>Para eliminar el valor absoluto, consideramos dos casos, \(P_1 - P\) y \(P - P_1\):</p> <p>\[P_{1} - P = e^{-\alpha(t + C)} \qquad \text{o} \qquad P - P_{1} = e^{-\alpha(t + C)}\]</p> <p>Resolviendo para \(P\) en ambos casos, obtenemos:</p> <p>\[P(t) = P_{1} - e^{-\alpha(t + C)} \qquad \text{o} \qquad P(t) = e^{-\alpha(t + C)} + P_{1}\]</p> <p>La constante \(C\) puede determinarse con una condición inicial \(P(t_0) = P_0\), donde \(P_0\) y \(t_0\) son conocidos.</p> <p>Para encontrar un punto \((x,y)\) donde el teorema de existencia y unicidad no se puede garantizar, necesitamos identificar un punto donde la función \(f(P) = \alpha(P_1 - P)\) o sus derivadas parciales no sean continuas. En este caso, la función \(f\) es lineal y continua para todo \(P\) y no tiene puntos donde no sea diferenciable. Por lo tanto, no hay punto \((x,y)\) en los que el teorema de existencia y unicidad pueda ser cuestionado para esta ecuación diferencial particular.</p>
Differential Equation Existence and Uniqueness Theorem Challenge
<p>La ecuación diferencial dada es: \[\frac{dP}{dt} = P(1 - P)\]</p> <p>Esta es una ecuación diferencial separable, y podemos resolverla de la siguiente manera:</p> <p>Separando las variables P y t, obtenemos: \[\frac{dP}{P(1 - P)} = dt\]</p> <p>Para integrar el lado izquierdo, utilizamos fracciones parciales:</p> <p>\[\frac{1}{P(1 - P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{1 - P}\]</p> <p>Resolviendo para A y B, encontramos que A = 1 y B = 1. Entonces la ecuación queda de la siguiente manera:</p> <p>\[\frac{dP}{P(1 - P)} = \frac{dP}{P} + \frac{dP}{1-P}\]</p> <p>Integramos ambos lados:</p> <p>\[\int \frac{dP}{P} + \int \frac{dP}{1 - P} = \int dt\]</p> <p>\[\ln|P| - \ln|1 - P| = t + C\]</p> <p>Donde C es la constante de integración.</p> <p>Podemos encontrar un valor específico para la constante C con condiciones iniciales, si se proporcionan. Luego, resolver para P en términos de t proporcionaría la solución general o particular a la ecuación diferencial.</p> <p>En cuanto al punto \((x, y)\) donde el teorema de existencia y unicidad no podría garantizarse, necesitaríamos buscar donde el campo de direcciones o la función \(f(x, y) = y(1 - y)\) no es continua o tiene discontinuidades. Esto ocurre cuando el denominador se hace cero, es decir, \(P = 0\) o \(P = 1\). Por lo tanto, los puntos en los cuales el teorema de existencia y unicidad no podría garantizarse serían puntos en los que \(P = 0\) o \(P = 1\), que corresponden a soluciones de estado estacionario o puntos de equilibrio de la ecuación diferencial.</p>
Ordinary Differential Equation Existence and Uniqueness Theorem
<p>Para resolver la ecuación diferencial y determinar un punto donde el teorema de existencia y unicidad no se cumple, primero observamos la ecuación:</p> <p>\[\frac{dP}{dt} = P(1 - P)\]</p> <p>Esta es una ecuación diferencial separable, así que la resolvemos de la siguiente manera:</p> <p>\[\int \frac{1}{P(1 - P)} dP = \int dt\]</p> <p>Separando el integrando del lado izquierdo usando fracciones parciales:</p> <p>\[\int \left( \frac{1}{P} + \frac{1}{1-P} \right) dP = \int dt\]</p> <p>Integrando ambos lados se obtiene:</p> <p>\[\ln|P| - \ln|1 - P| = t + C\]</p> <p>Aplicando la propiedad del logaritmo de una diferencia a un cociente:</p> <p>\[\ln\left|\frac{P}{1 - P}\right| = t + C\]</p> <p>Despejando para \(P(t)\):</p> <p>\[P(t) = \frac{1}{1 + e^{-(t + C)}}\]</p> <p>El teorema de existencia y unicidad garantiza una solución única siempre y cuando \(P(t)\) y su derivada sean continuas en el punto considerado. La función \(P(t)\) es continua y diferenciable para todos los valores de \(t\), excepto cuando el denominador se hace cero. Esto ocurre si \(1 + e^{-(t + C)} = 0\), lo cual es imposible ya que \(e^{-(t + C)}\) nunca es negativo.</p> <p>Por lo tanto, el teorema de existencia y unicidad se garantiza para todos los puntos \((t, P(t))\), ya que no hay puntos donde la función o su derivada sean discontinuas.</p>
Differential Equation Existence and Uniqueness Conditions
<p>La ecuación diferencial dada es:</p> <p>\[\frac{dP}{dt} = P(1 - P)\]</p> <p>Para resolver esta ecuación, podemos separar las variables P y t:</p> <p>\[\frac{dP}{P(1 - P)} = dt\]</p> <p>Integrando ambos lados, obtenemos:</p> <p>\[\int \frac{1}{P(1 - P)} dP = \int dt\]</p> <p>\[= \int \left( \frac{1}{P} + \frac{1}{1 - P} \right) dP = t + C\]</p> <p>Donde C es la constante de integración. La solución general es un tanto complicada de manejar en términos de funciones elementales, pero para el teorema de existencia y unicidad, podemos estudiar la función \(f(P) = P(1 - P)\) y su derivada \(f'(P) = 1 - 2P\).</p> <p>El teorema de existencia y unicidad garantiza una solución única en un intervalo alrededor de un punto dado \((t_0, P_0)\) siempre y cuando f(P) y f'(P) sean continuas cerca de ese punto. En este caso, \(f(P)\) es continua para todos los valores reales de P, y \(f'(P)\) es continua para todos los valores reales de P también. Por lo tanto, no hay puntos \((x, y)\) donde el teorema de existencia y unicidad no se pueda garantizar para esta ecuación diferencial particular.</p>
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