Question - Differential Equation Existence and Uniqueness Theorem Challenge

La ecuación diferencial dada es: \[\frac{dP}{dt} = P(1 - P)\]

Esta es una ecuación diferencial separable, y podemos resolverla de la siguiente manera:

Separando las variables P y t, obtenemos: \[\frac{dP}{P(1 - P)} = dt\]

Para integrar el lado izquierdo, utilizamos fracciones parciales:

\[\frac{1}{P(1 - P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{1 - P}\]

Resolviendo para A y B, encontramos que A = 1 y B = 1. Entonces la ecuación queda de la siguiente manera:

\[\frac{dP}{P(1 - P)} = \frac{dP}{P} + \frac{dP}{1-P}\]

Integramos ambos lados:

\[\int \frac{dP}{P} + \int \frac{dP}{1 - P} = \int dt\]

\[\ln|P| - \ln|1 - P| = t + C\]

Donde C es la constante de integración.

Podemos encontrar un valor específico para la constante C con condiciones iniciales, si se proporcionan. Luego, resolver para P en términos de t proporcionaría la solución general o particular a la ecuación diferencial.

En cuanto al punto \((x, y)\) donde el teorema de existencia y unicidad no podría garantizarse, necesitaríamos buscar donde el campo de direcciones o la función \(f(x, y) = y(1 - y)\) no es continua o tiene discontinuidades. Esto ocurre cuando el denominador se hace cero, es decir, \(P = 0\) o \(P = 1\). Por lo tanto, los puntos en los cuales el teorema de existencia y unicidad no podría garantizarse serían puntos en los que \(P = 0\) o \(P = 1\), que corresponden a soluciones de estado estacionario o puntos de equilibrio de la ecuación diferencial.