Question - Solving a Differential Equation

La ecuación diferencial que se proporciona es:

\[\frac{dP}{dt} = \alpha(P_{1} - P)\]

Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden, que puede resolverse utilizando el método de las variables separables. Moviendo los términos correspondientes a cada lado de la ecuación, se obtiene:

\[\frac{dP}{\alpha(P_{1} - P)} = dt\]

Integrando ambos lados de la ecuación, se tiene:

\[\int \frac{1}{\alpha(P_{1} - P)} dP = \int dt\]

Resolviendo la integral del lado izquierdo (utilizando \(u = P_{1} - P\) y \(du = -dP\)), nos da:

\[-\frac{1}{\alpha} \int \frac{1}{u} du = \int dt\]

\[-\frac{1}{\alpha} \ln|P_{1} - P| = t + C\]

donde \(C\) es la constante de integración. Para resolver para \(P\), se puede exponentiar ambos lados para deshacer el logaritmo:

\[|P_{1} - P| = e^{-\alpha(t + C)}\]

Para eliminar el valor absoluto, consideramos dos casos, \(P_1 - P\) y \(P - P_1\):

\[P_{1} - P = e^{-\alpha(t + C)} \qquad \text{o} \qquad P - P_{1} = e^{-\alpha(t + C)}\]

Resolviendo para \(P\) en ambos casos, obtenemos:

\[P(t) = P_{1} - e^{-\alpha(t + C)} \qquad \text{o} \qquad P(t) = e^{-\alpha(t + C)} + P_{1}\]

La constante \(C\) puede determinarse con una condición inicial \(P(t_0) = P_0\), donde \(P_0\) y \(t_0\) son conocidos.

Para encontrar un punto \((x,y)\) donde el teorema de existencia y unicidad no se puede garantizar, necesitamos identificar un punto donde la función \(f(P) = \alpha(P_1 - P)\) o sus derivadas parciales no sean continuas. En este caso, la función \(f\) es lineal y continua para todo \(P\) y no tiene puntos donde no sea diferenciable. Por lo tanto, no hay punto \((x,y)\) en los que el teorema de existencia y unicidad pueda ser cuestionado para esta ecuación diferencial particular.