Question - Ordinary Differential Equation Existence and Uniqueness Theorem

Para resolver la ecuación diferencial y determinar un punto donde el teorema de existencia y unicidad no se cumple, primero observamos la ecuación:

\[\frac{dP}{dt} = P(1 - P)\]

Esta es una ecuación diferencial separable, así que la resolvemos de la siguiente manera:

\[\int \frac{1}{P(1 - P)} dP = \int dt\]

Separando el integrando del lado izquierdo usando fracciones parciales:

\[\int \left( \frac{1}{P} + \frac{1}{1-P} \right) dP = \int dt\]

Integrando ambos lados se obtiene:

\[\ln|P| - \ln|1 - P| = t + C\]

Aplicando la propiedad del logaritmo de una diferencia a un cociente:

\[\ln\left|\frac{P}{1 - P}\right| = t + C\]

Despejando para \(P(t)\):

\[P(t) = \frac{1}{1 + e^{-(t + C)}}\]

El teorema de existencia y unicidad garantiza una solución única siempre y cuando \(P(t)\) y su derivada sean continuas en el punto considerado. La función \(P(t)\) es continua y diferenciable para todos los valores de \(t\), excepto cuando el denominador se hace cero. Esto ocurre si \(1 + e^{-(t + C)} = 0\), lo cual es imposible ya que \(e^{-(t + C)}\) nunca es negativo.

Por lo tanto, el teorema de existencia y unicidad se garantiza para todos los puntos \((t, P(t))\), ya que no hay puntos donde la función o su derivada sean discontinuas.