Question - Differential Equation Existence and Uniqueness Conditions

La ecuación diferencial dada es:

\[\frac{dP}{dt} = P(1 - P)\]

Para resolver esta ecuación, podemos separar las variables P y t:

\[\frac{dP}{P(1 - P)} = dt\]

Integrando ambos lados, obtenemos:

\[\int \frac{1}{P(1 - P)} dP = \int dt\]

\[= \int \left( \frac{1}{P} + \frac{1}{1 - P} \right) dP = t + C\]

Donde C es la constante de integración. La solución general es un tanto complicada de manejar en términos de funciones elementales, pero para el teorema de existencia y unicidad, podemos estudiar la función \(f(P) = P(1 - P)\) y su derivada \(f'(P) = 1 - 2P\).

El teorema de existencia y unicidad garantiza una solución única en un intervalo alrededor de un punto dado \((t_0, P_0)\) siempre y cuando f(P) y f'(P) sean continuas cerca de ese punto. En este caso, \(f(P)\) es continua para todos los valores reales de P, y \(f'(P)\) es continua para todos los valores reales de P también. Por lo tanto, no hay puntos \((x, y)\) donde el teorema de existencia y unicidad no se pueda garantizar para esta ecuación diferencial particular.