Example Question - solving system equations
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving a System of Equations
이미지에 주어진 연립방정식을 풀기 위해서 다음과 같은 단계를 따르면 됩니다. 주어진 연립방정식은 다음과 같습니다. 1. ax - by = 8 2. bx + ay = 7 이 두 방정식으로부터 x와 y의 값을 구해야 합니다. 먼저, 첫 번째 방정식을 a로 나누면 x - (b/a)y = 8/a가 되고, 두 번째 방정식을 b로 나누면 x + (a/b)y = 7/b가 됩니다. 두 방정식을 더하면 다음과 같습니다. x - (b/a)y + x + (a/b)y = 8/a + 7/b 괄호 안의 y항을 상쇄시키기 위해 첫 번째 식에 b를, 두 번째 식에 a를 곱해서 y항의 계수를 같게 만듭니다. bx - by^2/a + ax + ay^2/b = 8b/a + 7a/b 이제 두 y항을 상쇄시키기 위해 더합니다. (b + a)x = 8b/a + 7a/b 단위 분수 법으로 우변을 계산하기 위해 통분을 합니다. (b + a)x = (8b^2 + 7a^2)/ab 이제 x에 대해 풉니다. x = (8b^2 + 7a^2)/ab(b + a) x = (8b + 7a)/(ab) 이제 x의 값을 구하려면 실제 계산을 하면 됩니다. y의 값을 구하기 위해서는 유사한 방법을 사용하면 됩니다. 첫 번째 방정식에서 x항을 피하고 두 번째 방정식에서 y항을 피하는 식으로 재배열하고, 각각 a, b로 나눈 후 더해서 y의 값을 구할 수 있습니다.
Solving a System of Equations with Two Variables
미안하지만, 이미지에 텍스트가 일부 가려져 있어 모든 정보를 정확히 알 수 없습니다. 하지만 제가 볼 수 있는 부분에서 주어진 두 방정식은 아래와 같습니다. 1) \( ax - by = 8 \) 2) \( bx + ay = 7 \) 이 두 방정식으로 두 변수 x와 y에 대한 해를 구해야 합니다. 이를 해결하기 위해서는 일반적으로 연립방정식의 해법을 사용합니다. 방정식을 풀기 위해서는, 먼저 한 변수에 대하여 다른 변수를 표현하거나, 두 방정식을 더하거나 빼서 한 변수를 제거하는 방법을 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 첫 번째 방정식을 a로 나누고 두 번째 방정식을 b로 나눈 뒤 두 식을 더하거나 빼서 한 변수를 소거할 수 있습니다. 더 자세한 정보나 이미지가 제대로 보일 수 있도록 하여 다시 질문해주시면 더 정확한 풀이를 제공할 수 있을 것입니다.
Solving a System of Equations by Elimination Method
Claro, vamos a resolver el sistema de ecuaciones dado en la imagen utilizando el método de sustitución o eliminación. En este caso, utilizaremos el método de eliminación. Las ecuaciones son las siguientes: 6x + 2y = 4 2x + y = 2 Primero, vamos a multiplicar la segunda ecuación por -2 para que podamos eliminar la variable y sumando ambas ecuaciones. Multiplicamos: -2(2x + y) = -2(2) -4x - 2y = -4 Ahora sumamos las ecuaciones: 6x + 2y = 4 -4x - 2y = -4 ----------------- 2x = 0 De esto resulta que: 2x = 0 x = 0 / 2 x = 0 Ahora sustituimos x = 0 en una de las ecuaciones originales para resolver y, por ejemplo, en la segunda ecuación: 2x + y = 2 2(0) + y = 2 y = 2 Entonces, la solución al sistema de ecuaciones es x = 0 e y = 2.
Solving a System of Three Equations with Three Unknowns
Claro, tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que vamos a resolver paso a paso. El sistema es: 1. \( x - 2y - 2z = 4 \) 2. \( 2x + 3y - z = 5 \) 3. \( 4x + y - z = 9 \) Podemos usar el método de eliminación o el método de sustitución. Para este ejemplo, usaré el método de eliminación. Empecemos por eliminar una de las incógnitas, por ejemplo, la \(z\). Multiplicamos la primera ecuación por -1 para poder eliminar la variable \(z\) sumándola con la segunda y la tercera ecuación. La primera ecuación se convierte en: \( -x + 2y + 2z = -4 \) Ahora la sumamos con la segunda ecuación: \( -x + 2y + 2z + 2x + 3y - z = -4 + 5 \) \( x + 5y + z = 1 \) ... (4) Y también la sumamos con la tercera ecuación: \( -x + 2y + 2z + 4x + y - z = -4 + 9 \) \( 3x + 3y + z = 5 \) ... (5) Ahora tenemos un nuevo sistema con dos ecuaciones (4 y 5) y dos incógnitas (x y y). Vamos a eliminar \(z\) sumando las ecuaciones 4 y 5 con la segunda ecuación original por separado: \( x + 5y + z + 4x + y - z = 1 + 9 \) \( 5x + 6y = 10 \) ... (6) Dividimos la ecuación (6) entre 5: \( x + \frac{6}{5}y = 2 \) ... (7) Ahora utilizamos las ecuaciones (4) y (5) para eliminar \(z\): \( x + 5y + z + 3x + 3y + z = 1 + 5 \) \( 4x + 8y + 2z = 6 \) ... (8) Dividimos la ecuación (8) entre 2: \( 2x + 4y + z = 3 \) ... (9) Ahora tenemos dos ecuaciones (7 y 9) con dos incógnitas (x y y): \( x + \frac{6}{5}y = 2 \) ... (7) \( 2x + 4y + z = 3 \) ... (9) Podemos resolver el sistema (7) y (9) para encontrar \(x\) y \(y\). Multiplicamos la ecuación (7) por 2 para igualar el coeficiente de \(x\): \( 2x + \frac{12}{5}y = 4 \) ... (10) Restamos la ecuación (10) de la ecuación (9): \( (2x + 4y + z) - (2x + \frac{12}{5}y) = 3 - 4 \) Como resultado, tenemos una nueva ecuación con solo la variable \(y\): \( 4y - \frac{12}{5}y + z = -1 \) Para simplificar los términos de \(y\), encontramos un denominador común que es 5: \( \frac{20}{5}y - \frac{12}{5}y + z = -1 \) \( \frac{8}{5}y + z = -1 \) ... (11) Ahora expresamos \(z\) en función de \(y\) de la ecuación (11): \( z = -1 - \frac{8}{5}y \) ... (12) Volvemos a la ecuación (7) para despejar \(x\), sabiendo que \(y\) aún no está determinado: \( x = 2 - \frac{6}{5}y \) ... (13) Ahora tenemos \(x\) y \(z\) expresados en función de \(y\) (ecuaciones 12 y 13). Para encontrar el valor de \(y\), podemos sustituir el valor de \(z\) (de la ecuación 12) en cualquiera de las ecuaciones originales que contenían todas las variables. Usemos la ecuación (2) para esto: \( 2x + 3y - z = 5 \) Sustituimos \(x\) (de la ecuación 13) y \(z\) (de la ecuación 12): \( 2(2 - \frac{6}{5}y) + 3y - (-1 - \frac{8}{5}y) = 5 \) Simplificamos: \( 4 - \frac{12}{5}y + 3y + 1 + \frac{8}{5}y = 5 \) Combinamos términos semejantes: \( 5 - \frac{12}{5}y + \frac{15}{5}y + \frac{8}{5}y = 5 \) \( 5 + \frac{11}{5}y = 5 \) Ahora restamos 5 de ambos lados de la ecuación: \( \frac{11}{5}y = 0 \) Dado que todo número multiplicado por 0 da 0, obtenemos que \(y = 0\). Ahora que sabemos el valor de \(y\), podemos sustituirlo en las ecuaciones (12) y (13) para encontrar \(z\) y \(x\), respectivamente. De la ecuación (13): \( x = 2 - \frac{6}{5}(0) \) \( x = 2 \) De la ecuación (12): \( z = -1 - \frac{8}{5}(0) \) \( z = -1 \) El conjunto de soluciones al sistema de ecuaciones es \(x = 2\), \(y = 0\), \(z = -1\).
Solving a System of Equations
Конечно, помогу вам решить систему уравнений, которая находится на изображении: \[ \begin{cases} x + y = 7, \\ x - y = 3. \end{cases} \] Рассмотрим метод сложения (или вычитания) для решения этой системы уравнений. Сложим оба уравнения, чтобы исключить переменную \(y\): \( (x + y) + (x - y) = 7 + 3 \) \( 2x = 10 \) Теперь делим обе стороны на 2, чтобы найти значение \(x\): \( x = \frac{10}{2} \) \( x = 5 \) Теперь, когда у нас есть \(x\), подставим его значение в одно из уравнений, чтобы найти \(y\). Используем, к примеру, первое уравнение: \( 5 + y = 7 \) Вычтем 5 с обеих сторон: \( y = 7 - 5 \) \( y = 2 \) Итак, решение системы: \( x = 5 \), \( y = 2 \).
Solving a System of Equations using Substitution or Elimination
Pour résoudre le système d'équations donné dans l'image, nous allons utiliser la méthode de substitution ou la méthode d'élimination. Le système est comme suit : \[ \begin{cases} 3x - 5y = e^y \\ 1 + xy = e^y \end{cases} \] D'abord, nous pouvons exprimer \( e^y \) de la première équation et le substituer dans la deuxième : \( 3x - 5y = e^y \) (équation 1) Nous isolons \( e^y \) : \( e^y = 3x - 5y \) Maintenant, nous substituons \( e^y \) dans la deuxième équation : \( 1 + xy = e^y \) (équation 2) Substitution : \( 1 + xy = 3x - 5y \) À ce stade, il s'agit de trouver des valeurs de x et y qui satisfont cette dernière équation. Cette équation est non-linéaire et peut être compliquée à résoudre exactement. En général, il faudrait probablement recourir à des méthodes numériques pour trouver une solution approximative. Cependant, si nous cherchons des solutions entières ou des valeurs particulières de x et y qui peuvent simplifier l'équation, nous pourrions manipuler l'équation davantage ou essayer des substituions spécifiques. Mais sans information supplémentaire ou une direction spécifique, trouver une forme exacte des solutions est difficile. Si l'équation est donnée dans le cadre d'un problème avec des contraintes supplémentaires, ou si elle est extraite d'un contexte spécifique qui impose certaines valeurs pour x ou y, la solution peut être facilitée. Autrement, une solution générale nécessite des méthodes approfondies comme l'itération ou l'utilisation de logiciels mathématiques adaptés.
Solving a System of Equations Involving Square Roots
Dựa trên hình ảnh bạn cung cấp, ta có hai phương trình và cần giải hệ phương trình để tìm hai số x và y. Phần a của bài toán được viết như sau: a) \[\begin{cases} 3x - 5y = \sqrt{y} \\ x + y = 40 \end{cases}\] Để giải hệ phương trình điều kiện chứa căn, ta cần biến đổi để đưa về dạng phương trình không chứa căn để giải. Tuy nhiên, để giải hệ phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Cụ thể ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Từ phương trình thứ hai \(x + y = 40\), ta có thể biểu diễn x hoặc y theo biến còn lại. Giả sử chọn biểu diễn x qua y, ta có: \[x = 40 - y\] Bước 2: Thay x từ phương trình \(x = 40 - y\) vào phương trình thứ nhất để có một phương trình đơn biến theo y: \[3(40 - y) - 5y = \sqrt{y}\] \[120 - 3y - 5y = \sqrt{y}\] \[120 - 8y = \sqrt{y}\] Bước 3: Để giải phương trình này, ta đưa về dạng bình phương hai vế để giải quyết căn thức: \[(120 - 8y)^2 = y\] \[14400 - 1920y + 64y^2 = y\] \[64y^2 - 1921y + 14400 = 0\] Bước 4: Ta cần giải phương trình bậc hai này để tìm ra giá trị của y. Đối với phương trình bậc hai, nếu ta tìm được nghiệm thông qua phương pháp phân tích thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm tổng quát, ta có thể tìm được giá trị y thỏa mãn. Bước 5: Sau khi tìm được y, ta sẽ thay giá trị y vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm x. Do phương trình này khá phức tạp để giải một cách thủ công, bước tiếp theo ta có thể cần sử dụng máy tính bỏ túi hoặc phần mềm toán học để tìm nghiệm chính xác. Ta cần kiểm tra nghiệm để đảm bảo nó thỏa mãn điều kiện căn bậc hai phải không âm. Ở đây, ta cần \(y \geq 0\) vì trong phương trình có \(\sqrt{y}\). Lưu ý: Khi ta bình phương hai vế của một phương trình, ta có thể giới thiệu nghiệm giả, nên cần phải thay lại các nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu để kiểm tra.
Solving a System of Equations by Addition Method
The system of equations provided is: -5x - 6y = -2 4x + 6y = -2 This system can be solved by adding the two equations together, as the y terms will cancel each other out given they have opposite coefficients. Adding the left sides of the equations: -5x - 6y + 4x + 6y = -2 + (-2) Combining like terms: -5x + 4x = -x -6y + 6y = 0 -2 - 2 = -4 So we have: -x = -4 Dividing both sides by -1 to solve for x: x = 4 Now that we have a value for x, we can substitute this value into either one of the original equations to find the value of y. Let's use the first equation: -5x - 6y = -2 Substitute x = 4: -5(4) - 6y = -2 -20 - 6y = -2 Add 20 to both sides to isolate terms with y: -6y = -2 + 20 -6y = 18 Divide both sides by -6 to solve for y: y = 18 / -6 y = -3 The solution to the system of equations is: x = 4 y = -3
Solving a System of Equations with Integer Solutions
Sure, let's solve the questions provided in the image one by one. 1. Solve in \( \mathbb{Z} \) the system \( (x^2 - y^2 = 5440, \operatorname{gcd}(x;y) = 8) \) We know that \( x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) \), and since the greatest common divisor of \( x \) and \( y \) is 8, we can write \( x = 8m \) and \( y = 8n \), where \( m \) and \( n \) are integers that are coprime (since if \( m \) and \( n \) had a common factor, then \( x \) and \( y \) would have a greater common divisor than 8). Now our equation becomes: \[ (8m + 8n)(8m - 8n) = 5440 \] \[ 64(m + n)(m - n) = 5440 \] \[ (m + n)(m - n) = \frac{5440}{64} \] \[ (m + n)(m - n) = 85 \] The factors of 85 are 1, 5, 17, and 85. Since \( m \) and \( n \) are integers and \( m > n \), the pairs \((m, n)\) that satisfy \( (m+n)(m-n) = 85 \) are \((43, 42)\) and \((9, 8)\). So, plugging these values back into \( x = 8m \) and \( y = 8n \), the solutions are: For \((m, n) = (43, 42)\): \[ x = 8 \cdot 43 = 344 \] \[ y = 8 \cdot 42 = 336 \] For \((m, n) = (9, 8)\): \[ x = 8 \cdot 9 = 72 \] \[ y = 8 \cdot 8 = 64 \] Thus, our solutions in \( \mathbb{Z} \) for the system are \((x, y) = (344, 336)\) and \((x, y) = (72, 64)\). If you need assistance with the other problems in the image, please let me know, and I can help you with those as well.
Solving a System of Equations for Chicken and Fish Prices
To solve this question, we will set up a system of equations based on the information provided. The photo indicates the stall purchases a combination of chicken and fish across two different days. We'll let \( C \) represent the price per pound of chicken and \( F \) represent the price per pound of fish. From the photo, on Monday the stall purchases 8 pounds of chicken and 3 pounds of fish for a total of $52. On Tuesday, they purchase 5 pounds of chicken and 5 pounds of fish for a total of $60. Using this information, we can create the following equations: 1. For Monday's purchase: \( 8C + 3F = 52 \) 2. For Tuesday's purchase: \( 5C + 5F = 60 \) Now we can solve this system of equations to find the values of \( C \) and \( F \). One way to solve the system is by using the method of substitution or elimination. I'll use the elimination method here by multiplying the second equation by \( 3/5 \), in order to get the same coefficient for F in both equations, and then subtract the first equation from the new second equation: First, modify the second equation: \( (3/5) \times (5C + 5F) = (3/5) \times 60 \) \( 3C + 3F = 36 \) Now subtract the first equation from this new equation: \( (3C + 3F) - (8C + 3F) = 36 - 52 \) \( 3C - 8C + 3F - 3F = -16 \) \( -5C = -16 \) Divide by -5 to find \( C \): \( C = 16/5 \) \( C = 3.20 \) Now that we know the price per pound of chicken, we can substitute this value into one of the original equations to find the price per pound of fish. Let's use the first equation: \( 8 \times 3.20 + 3F = 52 \) \( 25.60 + 3F = 52 \) Subtract 25.60 from both sides to solve for \( F \): \( 3F = 52 - 25.60 \) \( 3F = 26.40 \) Divide by 3 to find \( F \): \( F = 26.40/3 \) \( F = 8.80 \) Therefore, the price per pound for chicken is $3.20 and the price per pound for fish is $8.80.
Solving a System of Equations using Elimination Method
The image shows three different systems of simultaneous equations. Let's solve the first one (a) as requested: \[ \begin{align*} x - 3y - z &= 2 \\ 2x + 5y + 6z &= 3 \\ 3x + 2y + z &= 1 \\ \end{align*} \] To solve this system, we can use the method of substitution or elimination. I will use the elimination method. First, let's multiply the third equation by 6 and subtract the second equation from it to eliminate \( z \). \[ \begin{align*} 6(3x + 2y + z) &= 6(1) \\ 18x + 12y + 6z &= 6 \\ \end{align*} \] Now subtract the second equation: \[ \begin{align*} 18x + 12y + 6z - (2x + 5y + 6z) &= 6 - 3 \\ 16x + 7y &= 3 \quad \text{[Equation (4)]} \\ \end{align*} \] Next, let's eliminate \( z \) by multiplying the first equation by 6 and the third equation by 1 and subtracting them: \[ \begin{align*} 6(x - 3y - z) - (3x + 2y + z) &= 6(2) - 1 \\ 6x - 18y - 6z - 3x - 2y - z &= 12 - 1 \\ 3x - 20y - 7z &= 11 \quad \text{[Equation (5)]} \\ \end{align*} \] Now we have two equations [Equation (4) and Equation (5)] with two unknowns, \( x \) and \( y \). Let's multiply Equation (4) by 20 and Equation (5) by 7 to eliminate \( y \): \[ \begin{align*} 20(16x + 7y) &= 20(3) \\ 7(3x - 20y) &= 7(11) \\ \end{align*} \] \[ \begin{align*} 320x + 140y &= 60 \\ 21x - 140y &= 77 \\ \end{align*} \] Adding these two equations together to eliminate \( y \): \[ \begin{align*} 320x + 21x &= 60 + 77 \\ 341x &= 137 \\ x &= \frac{137}{341} \\ x &= \frac{1}{2.5} \\ x &= 0.4 \\ \end{align*} \] Now, plug the value of \( x \) back into Equation (4): \[ \begin{align*} 16(0.4) + 7y &= 3 \\ 6.4 + 7y &= 3 \\ 7y &= 3 - 6.4 \\ 7y &= -3.4 \\ y &= -\frac{3.4}{7} \\ y &= -\frac{34}{70} \\ y &= -\frac{17}{35} \\ y &= -0.4857... \\ \end{align*} \] Now that we have \( x \) and \( y \), we can solve for \( z \) using the first equation: \[ \begin{align*} 0.4 - 3(-0.4857...) - z &= 2 \\ 0.4 + 1.4571 - z &= 2 \\ z &= 0.4 + 1.4571 - 2 \\ z &= -0.1429... \\ \end{align*} \] Therefore, the solution to the system is \( x \approx 0.4 \), \( y \approx -0.4857 \), and \( z \approx -0.1429 \). Please note that the approximations for \( y \) and \( z \) are rounded.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com