Example Question - simplifying expressions
Here are examples of questions we've helped users solve.
Simplifying a Complex Fraction with Polynomials
<p>Первый шаг - упростить числитель и знаменатель дроби, если это возможно.</p> <p>\[ \frac{{x^5 - 5x^2 + 8x + 4}}{{x^3 - x^2}} + \frac{{x + 2}}{{x^2}} \]</p> <p>Знаменатель первой дроби можно упростить, вынеся x^2:</p> <p>\[ x^2 \left( \frac{{x^3 - 5x + 8}}{{x}} + 4 \right) \]</p> <p>Знаменатель первой дроби теперь \( x \), а второй \( x^2 \).</p> <p>Чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю \( x^2 \):</p> <p>\[ \frac{{x(x^3 - 5x + 8) + 4x^2}}{{x^2}} + \frac{{x + 2}}{{x^2}} \]</p> <p>Теперь складываем числители двух дробей:</p> <p>\[ \frac{{x^4 - 5x^2 + 8x + 4x^2 + x + 2}}{{x^2}} \]</p> <p>Упрощаем выражение в числителе:</p> <p>\[ \frac{{x^4 - x^2 + 8x + 2}}{{x^2}} \]</p> <p>Финальный шаг – разделить каждый член в числителе на \( x^2 \):</p> <p>\[ x^2 - 1 + 8 \cdot \frac{x}{{x^2}} + \frac{2}{{x^2}} \]</p> <p>Результат:</p> <p>\[ x^2 - 1 + \frac{8}{x} + \frac{2}{{x^2}} \]</p>
Exercises on Exponents
<p>Para resolver los ejercicios de potencias, utilizaremos las propiedades de las potencias. </p> <p>Para el ejercicio \(2^{-3} \cdot 2^{5} \cdot 2^{-10}\): </p> <p>Aplicamos la propiedad de producto de potencias con la misma base sumando los exponentes: </p> <p>\(2^{-3 + 5 - 10} = 2^{-8}\) </p> <p>Por lo tanto, la respuesta simplificada es \(2^{-8}\).</p> <p>Para el ejercicio \((2^0)^{3} \cdot 5^{0}\): </p> <p>Recordamos que cualquier número elevado a la potencia de cero es igual a uno: </p> <p>\((2^0)^{3} = 1^3\) y \(5^{0} = 1\)</p> <p>Por lo tanto, la respuesta simplificada es \(1^3 \cdot 1 = 1\).</p> <p>Para el ejercicio \(8^{-1} \cdot 8^2\): </p> <p>Aplicamos la propiedad de producto de potencias con la misma base sumando los exponentes: </p> <p>\(8^{-1 + 2} = 8^1\)</p> <p>Por lo tanto, la respuesta simplificada es \(8^1\) o simplemente \(8\).</p> <p>Para el ejercicio \(5^{x+1}\): </p> <p>Esta expresión ya está simplificada y no se puede simplificar más sin conocer el valor de x.</p> <p>Para el ejercicio \(x^{-1} \cdot x\): </p> <p>Aplicamos la propiedad de producto de potencias con la misma base sumando los exponentes:</p> <p>\(x^{-1 + 1} = x^0\)</p> <p>Y sabemos que cualquier número elevado a la potencia de cero es igual a uno: \(x^0 = 1\).</p>
Solving Linear Equations by Combining Like Terms
<p>\text{Учитывая уравнение: } 2x - 3y = \frac{2}{5}(x - 2y) + \frac{3}{2}(x - y)</p> <p>\text{Первый шаг - избавиться от знаменателей, умножив каждый член на 10 (наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 2): }</p> <p>10 \cdot 2x - 10 \cdot 3y = 10 \cdot \frac{2}{5}(x - 2y) + 10 \cdot \frac{3}{2}(x - y)</p> <p>20x - 30y = 4(x - 2y) + 15(x - y)</p> <p>\text{Раскроем скобки: }</p> <p>20x - 30y = 4x - 8y + 15x - 15y</p> <p>\text{Сложим подобные слагаемые справа: }</p> <p>20x - 30y = (4x + 15x) - (8y + 15y)</p> <p>20x - 30y = 19x - 23y</p> <p>\text{Теперь перенесем все члены с переменными на одну сторону, а числа - на другую: }</p> <p>20x - 19x = 23y - 30y</p> <p>x = -7y</p> <p>\text{Финальное уравнение в простейшей форме: } x = -7y.</p>
Simplifying an Algebraic Expression
<p>\[\frac{x - 7 - 2 \cdot (-2)}{3}\]</p> <p>\[\frac{x - 7 + 4}{3}\]</p> <p>\[\frac{x - 3}{3}\]</p> <p>\[= \frac{x}{3} - 1\]</p>
Simplifying a Mathematical Expression Involving Powers and Multiplication
<p>Для того чтобы решить это выражение, необходимо выполнить следующие шаги:</p> <p>(-0.1)^1 \cdot 10^5 \cdot 0.01 + 10^0 = (-0.1) \cdot 10^5 \cdot \frac{1}{100} + 1</p> <p>Теперь упростим произведение:</p> <p>(-0.1) \cdot 10^5 \cdot \frac{1}{100} = -10^4</p> <p>Затем добавим 10^0, что равно 1:</p> <p>-10^4 + 1</p> <p>Итак, окончательный результат:</p> <p>-10000 + 1 = -9999</p>
Solving the Linear Equation
<p>Given the equation \(4x + 2 = 2(2x + 3)\)</p> <p>First, expand the right-hand side: \(4x + 2 = 4x + 6\)</p> <p>Next, subtract \(4x\) from both sides of the equation: \(4x - 4x + 2 = 4x - 4x + 6\)</p> <p>This simplifies to: \(2 = 6\)</p> <p>Since this result is not possible (\(2\) does not equal \(6\)), the equation has no solution.</p>
Simplifying a Power Expression
<p>Para simplificar la expresión \( x^7 x^{-n} \), se aplican las reglas de los exponentes, las cuales indican que al multiplicar dos expresiones con la misma base, los exponentes se suman.</p> <p>\( x^7 \cdot x^{-n} = x^{7 + (-n)} = x^{7-n} \)</p> <p>Por lo tanto, la expresión simplificada es \( x^{7-n} \).</p>
Polynomial Long Division Practice Problems
Chúng ta có thể thấy rằng các biểu thức đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần về số mũ của 'x'. Đề bài yêu cầu xác định cách biểu thức này có thể được viết hoặc rút gọn. Cách tiếp cận phổ biến là xem xét mỗi biểu thức và tìm cách chia đa thức hoặc rút gọn chúng. Để giải quyết vấn đề này, mỗi biểu thức sẽ được phân tích và rút gọn riêng lẻ. Tuy nhiên, bạn không cung cấp dữ liệu đầu vào cụ thể nên tôi sẽ đi qua mỗi biểu thức mà không cần giá trị cụ thể cho 'x': <p>2/ (x+1)(x-2)(x+3)(x+4) - 24 = (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x - 6) - 24</p> <p>4/ (x^2 + x)^2 + 4x^2 + 4x - 12 = (x^4 + 2x^3 + 2x^2) + 4x^2 + 4x - 12</p> <p>6/ (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a^4 = (x^2 + 5ax + 4a^2)(x^2 + 5ax + 6a^2) + a^4</p> <p>8/ (x^2 + x)^2 + 3(x^2 + x) + 2 = (x^4 + 2x^3 + x^2) + 3x^2 + 3x + 2</p> <p>10/ (x^2 + 2x)^2 + 9x^2 + 18x + 20 = (x^4 + 4x^3 + 4x^2) + 9x^2 + 18x + 20</p> <p>12/ (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 = (x^2 + 10x + 32)(x^2 + 10x + 48) + 16</p> Lưu ý rằng tôi đã mở rộng mỗi biểu thức để hiển thị các đa thức dưới dạng tổng của các biểu thức đơn giản hơn. Để hoàn tất việc rút gọn, cần phải thực hiện phép cộng, phép trừ và phép chia đa thức để thu gọn các biểu thức. Tuy nhiên, vì không có giá trị cụ thể cho 'x' hoặc 'a', tôi không thể cung cấp một câu trả lời hoàn chỉnh.
Expanding and Simplifying Polynomial Expressions
<p>Simplify the given expressions:</p> <p>\textbf{For the 2/ expression:}</p> <p>(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24</p> <p>=(x^2 + 5x+ 6)(x^2 + 7x + 12) - 24</p> <p>=(x^4 + 12x^3 + 46x^2 + 72x + 24) - 24</p> <p>=x^4 + 12x^3 + 46x^2 + 72x</p> <p>\textbf{For the 4/ expression:}</p> <p>(x^2 + x)^2 + 4x^2 + 4x -12</p> <p>=(x^4 + 2x^3 + x^2) + 4x^2 + 4x -12</p> <p>=x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 4x -12</p> <p>\textbf{For the 6/ expression:}</p> <p>(x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a^4</p> <p>=(x^2 + 3ax + 2a^2)(x^2 + 7ax + 12a^2) + a^4</p> <p>=(x^4 + 10ax^3 + (3*12+7*2)a^2x^2 + (3*7+2*12)ax^3 + 24a^4) + a^4</p> <p>=x^4 + 10ax^3 + 38a^2x^2 + 33a^3x + 25a^4</p> <p>\textbf{For the 8/ expression:}</p> <p>(x^2 + x)^2 + 3(x^2 + x) + 2</p> <p>=(x^4 + 2x^3 + x^2) + 3x^2 + 3x + 2</p> <p>=x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x + 2</p> <p>\textbf{For the 10/ expression:}</p> <p>(x^2 + 2x)^2 + 9x^2 + 18x + 20</p> <p>=(x^4 + 4x^3 + 4x^2) + 9x^2 + 18x + 20</p> <p>=x^4 + 4x^3 + 13x^2 + 18x + 20</p> <p>\textbf{For the 12/ expression:}</p> <p>(x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16</p> <p>=(x^2 + 6x + 8)(x^2 + 14x + 48) + 16</p> <p>=(x^4 + 20x^3 + 144x^2 + 384x + 128) + 16</p> <p>=x^4 + 20x^3 + 144x^2 + 384x + 144</p>
Solving an Expression with Square Roots
The expression given in the image is: √28 - √7 / √3 × √5 / 4 To solve it, we first simplify the square roots and then follow the order of operations. √28 can be simplified by recognizing that 28 is 4 times 7, and 4 is a perfect square: √28 = √(4×7) = √4 × √7 = 2√7 Now we can rewrite the expression: 2√7 - √7 / √3 × √5 / 4 Before going further, we should clarify the order of operations. If the expression is meant to be read as: (2√7 - √7) / (√3 × √5 / 4) we should perform the subtraction first, then the multiplication, and finally the division. However, if each square root is to be divided or multiplied individually before subtracting, we need parentheses to indicate which operations to perform first. Assuming it is the former, and the subtraction is to be done first, followed by the division and multiplication: First, subtract √7 from 2√7: 2√7 - √7 = √7 Next, multiply √3 and √5: √3 × √5 = √(3×5) = √15 Now we have: √7 / √15 × 1 / 4 To simplify this we will write √7 as √7/1 and do the division by multiplying by the reciprocal: √7/1 × 1/√15 × 1/4 Now, to simplify √7/√15, we get: √7 / √15 = √(7/15) = √(0.4667) And when we multiply by 1/4: √(7/15) × 1/4 = √(7/60) The last step cannot be nicely simplified without a calculator as 7/60 is not a perfect square, but you can leave your answer as √(7/60) or approximate it with a calculator if necessary.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com