Example Question - linear algebra
Here are examples of questions we've helped users solve.
Matrix Equation Solving
<p>Given the equation:</p> <p>\(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ y & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 6 & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ x & 7 \end{pmatrix}\)</p> <p>We can separate this into two equations by comparing corresponding elements:</p> <p>1. \(0 + 4 = 4\)</p> <p>2. \(1 - 1 = 0\)</p> <p>3. \(y + 6 = x\)</p> <p>4. \(5 + x = 7\)</p> <p>From equation 1 and 2, we directly confirm that both hold true. Now, solving for \(x\) from equation 4:</p> <p>From \(5 + x = 7\)</p> <p>\(x = 7 - 5\)</p> <p>Thus, \(x = 2\).</p> <p>Now substitute \(x\) into equation 3:</p> <p>\(y + 6 = 2\)</p> <p>Thus, \(y = 2 - 6\)</p> <p>So, \(y = -4\).</p> <p>Final values: \(x = 2, y = -4\).</p>
Matrix Inversion Using Elementary Operations
<p>For the matrix \(A = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{array} \right]\), we want to find \(A^{-1}\) using elementary operations. We start by writing the augmented matrix \( [A | I] \) where \(I\) is the \(3 \times 3\) identity matrix:</p> <p>\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \)</p> <p>Step 1: Swap row 1 with a row having a non-zero entry in the first column. We swap row 1 and row 2:</p> <p>\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \)</p> <p>Step 2: Subtract 3 times row 1 from row 3:</p> <p>\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -8 & 0 & -3 & 1 \end{array} \right] \)</p> <p>Step 3: Add 5 times row 2 to row 3:</p> <p>\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 5 & -3 & 1 \end{array} \right] \)</p> <p>Step 4: Divide row 3 by 2:</p> <p>\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right] \)</p> <p>Step 5: Subtract 2 times row 3 from row 2, and subtract 3 times row 3 from row 1:</p> <p>\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & -\frac{15}{2} & \frac{11}{2} & -\frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -4 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right] \)</p> <p>Step 6: Subtract 2 times row 2 from row 1:</p> <p>\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -4 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right] \)</p> <p>The matrix on the right side of the augmented matrix is now the inverse of \(A\):</p> <p>\( A^{-1} = \left[ \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right] \)</p>
Matrix Determinant Calculation
<p>The provided photo seems to show the determinant of a 3x3 matrix being calculated. However, the step-by-step calculation is not fully visible, and there's some text in another language at the bottom. With the visible content, I will assume the goal is to calculate the determinant of a matrix displayed at the top right corner of the image.</p> <p>Let the matrix A be:</p> \[ A = \begin{bmatrix} -3 & 1 & 5 \\ 1 & -3 & -5 \\ 1 & 3 & 5 \\ \end{bmatrix} \] <p>To find the determinant of matrix A (denoted as det(A) or |A|), we can use the following formula for a 3x3 matrix:</p> <p>det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})</p> <p>Substituting the values from matrix A, we get:</p> \[ \begin{align*} \text{det}(A) &= (-3)((-3)(5) - (-5)(3)) - (1)((1)(5) - (3)(-5)) + (5)((1)(3) - (-3)(1)) \\ &= (-3)((-15) - (-15)) - (1)((5) - (-15)) + (5)((3) - (-3)) \\ &= (-3)(0) - (1)(20) + (5)(6) \\ &= 0 - 20 + 30 \\ &= 10 \end{align*} \] <p>Therefore, the determinant of matrix A is 10.</p>
Determining the Scalar Multiple of a Matrix
<p>To solve for \( \alpha \), we need to set up an equation based on the given matrix equality:</p> <p>\( \alpha^2 \times \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & -10 & 2 \\ 0 & -6 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -10 & 2 \\ 0 & -6 & 2 \end{bmatrix} + 3X \)</p> <p>We can see that the matrix \( X \) is also the matrix we are multiplying by \( \alpha^2 \). So, let's denote it as \( X \) and find \( 3X \):</p> <p>\( 3X = 3 \times \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 & 9 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \)</p> <p>Now, let's put \( 3X \) back into the matrix equality and compare the corresponding entries:</p> <p>\( \alpha^2 \times \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & -10 & 2 \\ 0 & -6 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -10 & 2 \\ 0 & -6 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 6 & 9 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \)</p> <p>Thus, we obtain the following matrix equation:</p> <p>\( \begin{bmatrix} \alpha^2 + 3 & 2\alpha^2 + 1 & 3\alpha^2 + 2 \\ 0 & \alpha^2 - 10 & 2\alpha^2 + 2 \\ 0 & 0 & \alpha^2 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 + 3 & -10 + 6 & 2 + 9 \\ 0 & -6 + 3 & 2 + 6 \\ 0 & 0 & 2 + 3 \end{bmatrix} \)</p> <p>\( \begin{bmatrix} \alpha^2 + 3 & 2\alpha^2 + 1 & 3\alpha^2 + 2 \\ 0 & \alpha^2 - 10 & 2\alpha^2 + 2 \\ 0 & 0 & \alpha^2 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -4 & 11 \\ 0 & -3 & 8 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \)</p> <p>By comparing the corresponding entries, we can now write a system of equations. For instance, by comparing the (1,1) entries, we have:</p> <p>\( \alpha^2 + 3 = 8 \)</p> <p>\( \alpha^2 = 5 \)</p> <p>\( \alpha = \pm \sqrt{5} \)</p> <p>Since \( \alpha \) has been determined from the first entry, we do not need to proceed with the rest, as it will be the same for all corresponding entries.</p> <p>The principal square root is often taken as the solution for \( \alpha \), thus:</p> <p>\( \alpha = \sqrt{5} \)</p>
System of Linear Equations Problem
<p>The given system of equations is:</p> <p>\[\begin{cases} 3(2x - 3y) - 4(x + y) = 7x - 3y - 5 \\ 7(x - 2y) - 5(2x - y) = -9x + 9y + 7 \end{cases}\]</p> <p>First, expand and simplify both equations:</p> <p>Equation 1: \(6x - 9y - 4x - 4y = 7x - 3y - 5\)</p> <p>Rearrange and combine like terms:</p> <p>\(2x - 13y = 7x - 3y - 5 \Rightarrow -5x + 10y = -5\)</p> <p>Divide by -5 to simplify the equation:</p> <p>\(x - 2y = 1\) ... (i)</p> <p>Equation 2: \(7x - 14y - 10x + 5y = -9x + 9y + 7\)</p> <p>Rearrange and combine like terms:</p> <p>\(-3x - 9y = -9x + 9y + 7 \Rightarrow 6x - 18y = 7\)</p> <p>Divide by 6 to simplify the equation:</p> <p>\(x - 3y = \dfrac{7}{6}\) ... (ii)</p> <p>Now we can solve the system using equations (i) and (ii):</p> <p>From equation (i):</p> <p>\(x = 2y + 1\)</p> <p>Substitute \(x\) from equation (i) into equation (ii):</p> <p>\(2y + 1 - 3y = \dfrac{7}{6}\)</p> <p>\(-y + 1 = \dfrac{7}{6}\)</p> <p>\(-y = \dfrac{7}{6} - 1\)</p> <p>\(-y = \dfrac{1}{6}\)</p> <p>\(y = -\dfrac{1}{6}\)</p> <p>Now substitute \(y\) into equation (i):</p> <p>\(x = 2(-\dfrac{1}{6}) + 1\)</p> <p>\(x = -\dfrac{1}{3} + 1\)</p> <p>\(x = \dfrac{2}{3}\)</p> <p>The solution to the system of equations is \(x = \dfrac{2}{3}\), \(y = -\dfrac{1}{6}\).</p>
Determining the New Input-Output Matrix with Changed Final Demand
Para encontrar la nueva matriz de insumo-producto con la demanda final cambiada, necesitamos ajustar la columna de demanda según las nuevas cantidades y luego calcular la producción total necesaria para satisfacer esa demanda. La matriz original de insumo-producto (A) y la columna de demanda (D) original son: \( A = \begin{bmatrix}6 & 3 \\ 5 & 4 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} \) \( D_{original} = \begin{bmatrix}6 \\ 4 \\ \end{bmatrix} \) La demanda final cambiada (D_nueva) es: \( D_{nueva} = \begin{bmatrix}3 \\ 2 \\ \end{bmatrix} \) Para calcular la producción total necesaria (X), usamos la fórmula: \( X = (I - A)^{-1}D \) Donde I es la matriz de identidad del mismo orden que A. Primero, construimos la matriz de identidad I: \( I = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) Y calculamos \( I - A \): \( I - A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}6 & 3 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-5 & -3 \\ -5 & -3 \end{bmatrix} \) Ahora, necesitamos calcular la inversa de \( I - A \), \( (I - A)^{-1} \): Para una matriz 2x2, la inversa se calcula como: \( (I - A)^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \) Donde a, b, c, d son los elementos de la matriz \( I - A \): \( a = -5, b = -3, c = -5, d = -3 \) \( det(I - A) = ad - bc = (-5)(-3) - (-3)(-5) = 15 - 15 = 0 \) Sin embargo, en este caso el determinante es 0, lo que significa que la matriz \( I - A \) no es invertible, y por lo tanto no podemos calcular \( X \) usando la fórmula dada. Esto sucede porque la matriz de insumo-producto proporcionada no permite una solución única para la producción total con la demanda final cambiada. Como el determinante es cero y no podemos proceder con la inversión de la matriz, la solución no puede ser obtenida de la forma tradicional y la matriz propuesta no refleja un sistema económicamente viable desde la perspectiva del modelo de insumo-producto lineal. Sería necesario revisar los datos iniciales o aplicar otro método para ajustar la producción a la nueva demanda.
Input-Output Matrix Modification Based on Final Demand Change
<p>Para resolver este problema, necesitamos ajustar la matriz de insumo-producto original para reflejar el cambio en la demanda final:</p> <p>La matriz original de insumo-producto \( A \) y la matriz de demanda final \( d \) son:</p> <p>\[ A = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 5 & 4 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}, \quad d = \begin{bmatrix} 6 \\ 4 \end{bmatrix} \]</p> <p>La demanda final cambia a \( d' = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} \).</p> <p>Para hallar la nueva matriz que refleje esta demanda, necesitamos encontrar una matriz \( X \) tal que \( AX = d' \).</p> <p>Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales:</p> <p>\[ \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 5 & 4 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{11} \\ x_{21} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} \]</p> <p>Resolviendo para \( x_{11} \) y \( x_{21} \) tenemos:</p> <p>\( 6x_{11} + 3x_{21} = 3 \)</p> <p>\( 5x_{11} + 4x_{21} = 2 \)</p> <p>Este sistema tiene múltiples soluciones. Una forma de resolverlo es utilizando métodos numéricos o algoritmos de programación lineal, considerando las restricciones no negativas que puedan existir en el contexto del problema, pero como no se proporciona información adicional sobre estas restricciones o algún método de preferencia para resolver el sistema, no podemos determinar una única solución aquí.</p>
Cramer's Rule Application to Solve a System of Equations
Primero determinemos las matrices para aplicar la regla de Cramer. La matriz de los coeficientes es: \[ A = \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix} \] El determinante de \( A \) es: \[ \det(A) = (4)(2) - (2)(2) = 8 - 4 = 4 \] Ahora, para la variable \( x \), reemplazamos la primera columna de \( A \) con el vector de términos constantes y calculamos su determinante: \[ A_x = \begin{pmatrix} 13 & 2\\ 5 & 2 \end{pmatrix} \] \[ \det(A_x) = (13)(2) - (5)(2) = 26 - 10 = 16 \] Y para la variable \( y \), reemplazamos la segunda columna de \( A \) con el vector de términos constantes y calculamos su determinante: \[ A_y = \begin{pmatrix} 4 & 13\\ 2 & 5 \end{pmatrix} \] \[ \det(A_y) = (4)(5) - (13)(2) = 20 - 26 = -6 \] Finalmente, utilizando la regla de Cramer, encontramos los valores de \( x \) y \( y \): \[ x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{16}{4} = 4 \] \[ y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \] Por lo tanto, la solución del sistema es \( x = 4 \) y \( y = -\frac{3}{2} \).
Matrix Operations
لحل السؤال المقدم في الصورة، نحتاج إلى إجراء العمليات الحسابية على المصفوفتين \( A \) و \( B \). المصفوفة \( A \) هي \( \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \) والمصفوفة \( B \) هي \( \begin{bmatrix} 1/2 & 2 \\ -1 & 1/2 \end{bmatrix} \). a) لإيجاد \( 2A-3B \)، أولاً نحسب \( 2A \): \[ 2 \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \times 3 & 2 \times 1 \\ 2 \times 2 & 2 \times 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} \] ثم نحسب \( 3B \): \[ 3 \times \begin{bmatrix} 1/2 & 2 \\ -1 & 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \times 1/2 & 3 \times 2 \\ 3 \times -1 & 3 \times 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.5 & 6 \\ -3 & 1.5 \end{bmatrix} \] بعد ذلك نجري عملية الطرح: \[ \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1.5 & 6 \\ -3 & 1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 - 1.5 & 2 - 6 \\ 4 - (-3) & 6 - 1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4.5 & -4 \\ 7 & 4.5 \end{bmatrix} \] إذن، \( 2A-3B = \begin{bmatrix} 4.5 & -4 \\ 7 & 4.5 \end{bmatrix} \). b) لإيجاد \( AB \): \[ \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1/2 & 2 \\ -1 & 1/2 \end{bmatrix} \] نحسب كل عنصر في المصفوفة الناتجة عن طريق ضرب الصف في العمود المقابل ثم جمع النتائج: للعنصر (1,1): \( (3 \times \frac{1}{2}) + (1 \times -1) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \) للعنصر (1,2): \( (3 \times 2) + (1 \times \frac{1}{2}) = 6 + \frac{1}{2} = 6.5 \) للعنصر (2,1): \( (2 \times \frac{1}{2}) + (3 \times -1) = 1 - 3 = -2 \) للعنصر (2,2): \( (2 \times 2) + (3 \times \frac{1}{2}) = 4 + \frac{3}{2} = 5.5 \) إذن، \( AB = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 6.5 \\ -2 & 5.5 \end{bmatrix} \). c) لإيجاد \( A^2-3B \) نحتاج أولا لحساب \( A^2 \): \[ \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \] للعنصر (1,1): \( (3 \times 3) + (1 \times 2) = 9 + 2 = 11 \) للعنصر (1,2): \( (3 \times 1) + (1 \times 3) = 3 + 3 = 6 \) للعنصر (2,1): \( (2 \times 3) + (3 \times 2) = 6 + 6 = 12 \) للعنصر (2,2): \( (2 \times 1) + (3 \times 3) = 2 + 9 = 11 \) إذن، \( A^2 = \begin{bmatrix} 11 & 6 \\ 12 & 11 \end{bmatrix} \). وكما سبق وحسبنا \( 3B \)، نستطيع الآن أن نجري الطرح: \[ \begin{bmatrix} 11 & 6 \\ 12 & 11 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1.5 & 6 \\ -3 & 1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 - 1.5 & 6 - 6 \\ 12 - (-3) & 11 - 1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9.5 & 0 \\ 15 & 9.5 \end{bmatrix} \] إذن، \( A^2-3B = \begin{bmatrix} 9.5 & 0 \\ 15 & 9.5 \end{bmatrix} \).
Solving a System of Linear Equations Using Elimination Method
Claro, vamos a resolver el sistema de ecuaciones lineales que se muestra en la imagen. Tenemos el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 1) \( x - 2y - 3z = 4 \) 2) \( 2x + 3y - z = 5 \) 3) \( 4x - 3y - z = 9 \) Para resolverlo, podemos usar el método de eliminación o el método de sustitución. Utilizaré el método de eliminación para resolver este sistema paso a paso. Paso 1: Eliminar una variable Podemos sumar la segunda ecuación y la tercera ecuación para eliminar la variable \( y \), lo cual nos dará una nueva ecuación con las incógnitas \( x \) y \( z \): \( 2x + 3y - z + 4x - 3y - z = 5 + 9 \) \( 6x - 2z = 14 \) Simplificando, esto nos da: \( 3x - z = 7 \) ... (4) Ahora, multipliquemos la primera ecuación por 2 para poder sumarla a la segunda ecuación y eliminar la variable \( y \): \( 2x - 4y - 6z = 8 \) ... (1) * 2 \( 2x + 3y - z = 5 \) ... (2) Sumamos ambas ecuaciones: \( 2x - 4y - 6z + 2x + 3y - z = 8 + 5 \) \( 4x - y - 7z = 13 \) ... (5) Ahora tenemos dos ecuaciones con las incógnitas \( x \) y \( z \) [(4) y (5)]. Podemos resolver este sistema para \( x \) y \( z \) eliminando una de estas variables. Paso 2: Eliminar otra variable Vamos a eliminar la variable \( z \) multiplicando la ecuación (4) por 7 y sumándola a la ecuación (5): \( 3x - z = 7 \) ... (4) * 7 \( 21x - 7z = 49 \) \( 4x - y - 7z = 13 \) ... (5) Sumamos las dos ecuaciones: \( 21x - 7z + 4x - y - 7z = 49 + 13 \) \( 25x - y = 62 \) ... (6) Ahora, tenemos una ecuación con \( x \) y \( y \), y podemos usar cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar la relación entre \( x \) y \( z \) y así obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Paso 3: Resolver para una variable A partir de la ecuación (6), podemos aislar una de las variables. Por ejemplo, aislemos \( x \): \( x = \frac{62 + y}{25} \) ... (7) Ahora, podemos sustituir la expresión de \( x \) en la ecuación (4) para encontrar \( z \): \( 3(\frac{62 + y}{25}) - z = 7 \) \( \frac{186 + 3y}{25} - z = 7 \) Multiplicamos ambos lados por 25 para deshacernos de la fracción: \( 186 + 3y - 25z = 175 \) \( 3y - 25z = -11 \) ... (8) Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas [(6) y (8)]. Podemos resolver este sistema para encontrar los valores de \( y \) y \( z \), y luego usar a \( x \) para obtener el valor de la tercera variable. Sin embargo, hay un error en mi procesamiento, porque he olvidado considerar la variable \( y \) en la ecuación (6) cuando he aislado \( x \). Tendría que haber obtenido una ecuación que involucre tanto a \( x \) como a \( y \), y luego utilizar otra ecuación para resolver el sistema para estas dos variables. Vamos a resolver el error. Sustituiremos la ecuación (7) en alguna de las ecuaciones originales que contenga todas las variables para encontrar \( y \) y \( z \). Por ejemplo, usaré la ecuación (1): \( \frac{62 + y}{25} - 2y - 3z = 4 \) Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 25 para eliminar la fracción: \( 62 + y - 50y - 75z = 100 \) \(-49y - 75z = 38\) ... (9) Ahora, necesitamos otra ecuación en términos de \( y \) y \( z \) para resolver el sistema. Podemos usar la ecuación (2) o (3) junto con la (9) para encontrar los valores de \( y \) y \( z \). Usaré la ecuación (2) y resolveré para \( y \) en términos de \( z \): \( 2(\frac{62 + y}{25}) + 3y - z = 5 \) \( 124 + 2y + 75y - 25z = 125 \) \( 77y - 25z = 1 \) ... (10) Ahora tenemos dos ecuaciones nuevas, (9) y (10), con las variables \( y \) y \( z \) que podemos resolver simultáneamente: (9) \( -49y - 75z = 38 \) (10) \( 77y - 25z = 1 \) Multiplicamos (10) por \( 3 \) para poder sumarla a (9) y así eliminar \( y \): \( 3 \cdot 77y = 231y \) \( 3 \cdot -25z = -75z \) \( 3 \cdot 1 = 3 \) Entonces, la ecuación (10) se convierte en: \( 231y - 75z = 3 \) ... (11) Sumamos (9) y (11) para eliminar \( y \): \( -49y - 75z + 231y - 75z = 38 + 3 \) \( 182y = 41 \) \( y = \frac{41}{182} \) \( y = \frac{41}{182} \) Simplificando: \( y = \frac{41}{182} \) \( y = \frac{41}{2 \times 91} \) \( y = \frac{41}{2 \times 7 \times 13} \) \( y = \frac{41}{182} \) Por lo tanto: \( y = \frac{41}{182} \) \( y = \frac{1}{2 \times 7} \) \( y = \frac{1}{14} \) Ahora que hemos encontrado \( y \), podemos sustituir este valor de vuelta en la ecuación (9) o (10) para encontrar \( z \). Usando la ecuación (10): \( 77(\frac{1}{14}) - 25z = 1 \) \( \frac{77}{14} - 25z = 1 \) Multiplicamos ambos lados por 14 para eliminar la fracción: \( 77 - 25 \cdot 14z = 14 \) \( -25 \cdot 14z = 14 - 77 \) \( -350z = -63 \) \( z = \frac{-63}{-350} \) Simplificando: \( z = \frac{63}{350} \) \( z = \frac{9}{50} \) Finalmente, sustituiremos \( y \) y \( z \) en la ecuación (4) para encontrar \( x \): \( 3x - \frac{9}{50} = 7 \) Multiplicamos ambos lados por 50: \( 150x - 9 = 350 \) \( 150x = 350 + 9 \) \( 150x = 359 \) \( x = \frac{359}{150} \) Simplificando: \( x = \frac{359}{150} \) \( x = \frac{359}{2 \times 75} \) \( x = \frac{359}{2 \times 3 \times 25} \) \( x = \frac{359}{150} \) \( x = \frac{239}{50} \) Por lo tanto, las soluciones para \( x \), \( y \), y \( z \) son: \( x = \frac{239}{50} \) \( y = \frac{1}{14
Solving a System of Linear Equations
The image shows a system of two linear equations: 1) \( \begin{cases} y = 12 \\ y = x + 2 \end{cases} \) To solve this system, you can equalize the two expressions for y, as the left side of the equations are the same: \( 12 = x + 2 \) Now, subtract 2 from both sides to solve for x: \( 12 - 2 = x \) \( x = 10 \) Now that we have the value for x, we can use either of the equations to find the value for y. Since the first equation directly gives us the value of y, we don't need to plug x into it: \( y = 12 \) So the solution to the system of equations is \( x = 10 \) and \( y = 12 \).
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