Question - Cramer's Rule Application to Solve a System of Equations
Solution:
Primero determinemos las matrices para aplicar la regla de Cramer. La matriz de los coeficientes es:
\[
A = \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}
\]
El determinante de \( A \) es:
\[
\det(A) = (4)(2) - (2)(2) = 8 - 4 = 4
\]
Ahora, para la variable \( x \), reemplazamos la primera columna de \( A \) con el vector de términos constantes y calculamos su determinante:
\[
A_x = \begin{pmatrix} 13 & 2\\ 5 & 2 \end{pmatrix}
\]
\[
\det(A_x) = (13)(2) - (5)(2) = 26 - 10 = 16
\]
Y para la variable \( y \), reemplazamos la segunda columna de \( A \) con el vector de términos constantes y calculamos su determinante:
\[
A_y = \begin{pmatrix} 4 & 13\\ 2 & 5 \end{pmatrix}
\]
\[
\det(A_y) = (4)(5) - (13)(2) = 20 - 26 = -6
\]
Finalmente, utilizando la regla de Cramer, encontramos los valores de \( x \) y \( y \):
\[
x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{16}{4} = 4
\]
\[
y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}
\]
Por lo tanto, la solución del sistema es \( x = 4 \) y \( y = -\frac{3}{2} \).
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