Question - Determining the New Input-Output Matrix with Changed Final Demand
Solution:
Para encontrar la nueva matriz de insumo-producto con la demanda final cambiada, necesitamos ajustar la columna de demanda según las nuevas cantidades y luego calcular la producción total necesaria para satisfacer esa demanda.
La matriz original de insumo-producto (A) y la columna de demanda (D) original son:
\( A = \begin{bmatrix}6 & 3 \\ 5 & 4 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} \)
\( D_{original} = \begin{bmatrix}6 \\ 4 \\ \end{bmatrix} \)
La demanda final cambiada (D_nueva) es:
\( D_{nueva} = \begin{bmatrix}3 \\ 2 \\ \end{bmatrix} \)
Para calcular la producción total necesaria (X), usamos la fórmula:
\( X = (I - A)^{-1}D \)
Donde I es la matriz de identidad del mismo orden que A.
Primero, construimos la matriz de identidad I:
\( I = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)
Y calculamos \( I - A \):
\( I - A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}6 & 3 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-5 & -3 \\ -5 & -3 \end{bmatrix} \)
Ahora, necesitamos calcular la inversa de \( I - A \), \( (I - A)^{-1} \):
Para una matriz 2x2, la inversa se calcula como:
\( (I - A)^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \)
Donde a, b, c, d son los elementos de la matriz \( I - A \):
\( a = -5, b = -3, c = -5, d = -3 \)
\( det(I - A) = ad - bc = (-5)(-3) - (-3)(-5) = 15 - 15 = 0 \)
Sin embargo, en este caso el determinante es 0, lo que significa que la matriz \( I - A \) no es invertible, y por lo tanto no podemos calcular \( X \) usando la fórmula dada. Esto sucede porque la matriz de insumo-producto proporcionada no permite una solución única para la producción total con la demanda final cambiada.
Como el determinante es cero y no podemos proceder con la inversión de la matriz, la solución no puede ser obtenida de la forma tradicional y la matriz propuesta no refleja un sistema económicamente viable desde la perspectiva del modelo de insumo-producto lineal. Sería necesario revisar los datos iniciales o aplicar otro método para ajustar la producción a la nueva demanda.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com