Question - Matrix Operations
Solution:
لحل السؤال المقدم في الصورة، نحتاج إلى إجراء العمليات الحسابية على المصفوفتين $$ A $$ و $$ B $$. المصفوفة $$ A $$ هي $$ \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} $$ والمصفوفة $$ B $$ هي $$ \begin{bmatrix} 1/2 & 2 \\ -1 & 1/2 \end{bmatrix} $$. a) لإيجاد $$ 2A-3B $$، أولاً نحسب $$ 2A $$:\[ 2 \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \times 3 & 2 \times 1 \\ 2 \times 2 & 2 \times 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} \]ثم نحسب $$ 3B $$:\[ 3 \times \begin{bmatrix} 1/2 & 2 \\ -1 & 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \times 1/2 & 3 \times 2 \\ 3 \times -1 & 3 \times 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.5 & 6 \\ -3 & 1.5 \end{bmatrix} \]بعد ذلك نجري عملية الطرح:\[ \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1.5 & 6 \\ -3 & 1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 - 1.5 & 2 - 6 \\ 4 - (-3) & 6 - 1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4.5 & -4 \\ 7 & 4.5 \end{bmatrix} \]إذن، $$ 2A-3B = \begin{bmatrix} 4.5 & -4 \\ 7 & 4.5 \end{bmatrix} $$.b) لإيجاد $$ AB $$:\[ \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1/2 & 2 \\ -1 & 1/2 \end{bmatrix} \]نحسب كل عنصر في المصفوفة الناتجة عن طريق ضرب الصف في العمود المقابل ثم جمع النتائج:للعنصر (1,1):$$ (3 \times \frac{1}{2}) + (1 \times -1) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} $$للعنصر (1,2):$$ (3 \times 2) + (1 \times \frac{1}{2}) = 6 + \frac{1}{2} = 6.5 $$للعنصر (2,1):$$ (2 \times \frac{1}{2}) + (3 \times -1) = 1 - 3 = -2 $$للعنصر (2,2):$$ (2 \times 2) + (3 \times \frac{1}{2}) = 4 + \frac{3}{2} = 5.5 $$إذن، $$ AB = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 6.5 \\ -2 & 5.5 \end{bmatrix} $$.c) لإيجاد $$ A^2-3B $$ نحتاج أولا لحساب $$ A^2 $$:\[ \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \]للعنصر (1,1):$$ (3 \times 3) + (1 \times 2) = 9 + 2 = 11 $$للعنصر (1,2):$$ (3 \times 1) + (1 \times 3) = 3 + 3 = 6 $$للعنصر (2,1):$$ (2 \times 3) + (3 \times 2) = 6 + 6 = 12 $$للعنصر (2,2):$$ (2 \times 1) + (3 \times 3) = 2 + 9 = 11 $$إذن، $$ A^2 = \begin{bmatrix} 11 & 6 \\ 12 & 11 \end{bmatrix} $$.وكما سبق وحسبنا $$ 3B $$، نستطيع الآن أن نجري الطرح:\[ \begin{bmatrix} 11 & 6 \\ 12 & 11 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1.5 & 6 \\ -3 & 1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 - 1.5 & 6 - 6 \\ 12 - (-3) & 11 - 1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9.5 & 0 \\ 15 & 9.5 \end{bmatrix} \]إذن، $$ A^2-3B = \begin{bmatrix} 9.5 & 0 \\ 15 & 9.5 \end{bmatrix} $$.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com