Example Question - integrating factor
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Solving a Non-Exact Differential Equation by Finding an Integrating Factor
Para resolver este problema, sigamos los siguientes pasos: Primero, verifiquemos si la ecuación diferencial no es exacta. La ecuación diferencial dada es: <p>\((x^2 + xy - y^2)dx + (y^2 + 2xy - x^2)dy = 0\)</p> Calculamos \(\frac{\partial M}{\partial y}\) y \(\frac{\partial N}{\partial x}\), donde \(M = x^2 + xy - y^2\) y \(N = y^2 + 2xy - x^2\). <p>\(\frac{\partial M}{\partial y} = x - 2y\)</p> <p>\(\frac{\partial N}{\partial x} = 2y - 2x\)</p> Ya que \(\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}\), la ecuación no es exacta. Segundo, busquemos el factor integrante \(\mu(x,y)\) que convierte la ecuación en una exacta. Para este problema, no se proporcionó explícitamente un factor integrante, así que no podemos continuar sin más información. Sin el factor integrante correcto, no podemos resolver la ecuación diferencial dada. Normalmente, el factor integrante dependería de una relación entre \(M\) y \(N\) y sus derivadas parciales, para llevar la ecuación a una forma exacta. En este caso, necesitamos más información o instrucciones adicionales sobre el factor integrante para proceder con la solución. Por ende, no podemos ofrecer una solución completa sin la información faltante sobre el factor integrante.
Solving an Inexact Differential Equation
Para resolver el problema 29, se nos presenta una ecuación diferencial que es inexacta. Necesitamos encontrar el factor integrante y resolver la ecuación exacta resultante. La ecuación diferencial inexacta dada es: \[ \left( x^2 + xy - y^2 \right)dx + \left( y^2 + 2xy - x^2 \right)dy = 0 \] Primero comprobamos si la ecuación es inexacta calculando las derivadas parciales. Para una ecuación diferencial de la forma \( Mdx + Ndy = 0 \), la condición de exactitud es \( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \). Obtenemos \( M = x^2 + xy - y^2 \) y \( N = y^2 + 2xy - x^2 \), y calculamos: \[ \frac{\partial M}{\partial y} = x - 2y \] \[ \frac{\partial N}{\partial x} = -x + 2y \] Como \( \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} \), la ecuación no es exacta. Luego, se nos da un factor integrante \(\mu(x, y)\) que nos permitirá convertirla en una ecuación exacta, pero dado que la imagen no proporciona este factor integrante, no podemos continuar con la solución. En el caso de que se nos hubiera proporcionado un factor integrante \(\mu(x, y)\), el siguiente paso sería multiplicar toda la ecuación por \(\mu(x, y)\) para obtener la forma exacta, y luego resolverla a través de la integración.
Differential Equations and Intelligent Solutions
<p>Primero verificamos si la ecuación dada \((x - \sqrt{x^2 + y^2})dx + y dy = 0\) es exacta calculando las derivadas parciales de \(M(x, y) = x - \sqrt{x^2 + y^2}\) y \(N(x, y) = y\) respecto a \(y\) y \(x\) respectivamente.</p> <p>\(\frac{\partial M}{\partial y} = -\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\)</p> <p>\(\frac{\partial N}{\partial x} = 0\)</p> <p>Dado que \(\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}\), la ecuación no es exacta.</p> <p>Se propone reacomodar la ecuación dada como \((d(x + y)/\sqrt{x^2 + y^2}) dx = dy\), lo que implica que podemos multiplicar ambos lados de la ecuación original por un factor integrante \(\mu = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\) para hacerla exacta:</p> <p>\(\mu(x - \sqrt{x^2 + y^2})dx + \mu y dy = 0\)</p> <p>\(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}(x dx - (x^2 + y^2)^\frac{1}{2} dx) + \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} y dy = 0\)</p> <p>Reorganizando términos obtenemos:</p> <p>\(d\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}dy = \frac{dx}{\sqrt{x^2 + y^2}} + d\left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) - \frac{dx}{\sqrt{x^2 + y^2}}\)</p> <p>Cancelemos \(\frac{dx}{\sqrt{x^2 + y^2}}\) en ambos lados y nos queda:</p> <p>\(d\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) + d\left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) = 0\)</p> <p>Integrando ambos lados con respecto a \(x\) y a \(y\) respectivamente, encontramos que:</p> <p>\(\int d\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) + \int d\left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) = C\)</p> <p>Esto implica que la función:</p> <p>\(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = C\)</p> <p>es una solución a la ecuación diferencial dada, donde \(C\) es una constante de integración.</p>
Differential Equation Non-exactness and Alternative Solution Approach
Para demostrar que la ecuación diferencial dada no es exacta, se debe verificar si el diferencial de \( M(x, y)dx + N(x, y)dy \) satisface la condición de exactitud. En otras palabras, se debe verificar si \( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \). Si esta igualdad no se sostiene, entonces la ecuación no es exacta. <p>Dada la ecuación diferencial \( (x - \sqrt{x^2 + y^2})dx + ydy = 0 \), identifiquemos \( M(x, y) = x - \sqrt{x^2 + y^2} \) y \( N(x, y) = y \).</p> <p>Calculamos las derivadas parciales de \( M \) y \( N \):</p> <p>\( \frac{\partial M}{\partial y} = -\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \)</p> <p>\( \frac{\partial N}{\partial x} = 0 \)</p> <p>Como \( \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} \), la ecuación diferencial no es exacta.</p> Para mostrar cómo el reordenamiento y la observación conducen a una solución, primero reescribimos la ecuación diferencial como \( \frac{dx + ydy}{\sqrt{x^2 + y^2}} = dx \). Luego, se puede aplicar la observación dada: <p>\( \frac{1}{2}d(x^2 + y^2) = xdx + ydy \), que implica que</p> <p>\( d\sqrt{x^2 + y^2} = \frac{dx + ydy}{\sqrt{x^2 + y^2}} \).</p> <p>Integrando ambos lados de la ecuación, obtenemos:</p> <p>\( \int d\sqrt{x^2 + y^2} = \int dx \)</p> <p>\( \sqrt{x^2 + y^2} = x + C \),</p> <p>donde \( C \) es la constante de integración.</p> <p>Esta es una posible solución a la ecuación diferencial dada.</p>
Solving a First-Order Linear Differential Equation
La ecuación diferencial dada es \(\frac{dy}{dx} - y = x \cdot sen(x)\). Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Las condiciones para resolver este tipo de ecuaciones son que se pueda expresar en la forma \( \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\), donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son funciones continuas. <p>En este caso, tenemos \(P(x) = -1\) y \(Q(x) = x \cdot sen(x)\), ambas funciones continuas, así que podemos aplicar el método del factor integrante.</p> <p>El factor integrante es \( \mu(x) = e^{\int P(x)dx} = e^{\int -1dx} = e^{-x}\).</p> <p>Multiplicamos toda la ecuación por el factor integrante:</p> \[ e^{-x} \left( \frac{dy}{dx} - y \right) = x e^{-x} sen(x) \] <p>Esto nos deja con:</p> \[ \frac{d}{dx} \left( e^{-x}y \right) = x e^{-x} sen(x) \] <p>Integramos ambos lados con respecto a x:</p> \[ \int \frac{d}{dx} \left( e^{-x}y \right) dx = \int x e^{-x} sen(x) dx \] <p>Utilizando la integración por partes en el lado derecho, donde sea \(u = x\) y \(dv = e^{-x} sen(x)dx\), obtenemos:</p> \[ e^{-x}y = -(xe^{-x}sen(x) - \int -e^{-x}sen(x)dx) + C \] <p>El integral del lado derecho, \( \int e^{-x}sen(x)dx \), se resuelve de nuevo por partes o utilizando métodos tabulares, lo que resulta en una expresión que involucra términos de \( e^{-x}sen(x) \) y \( e^{-x}cos(x) \), más una constante de integración.</p> <p>Finalmente, se despeja \( y \) dividiendo todo por \( e^{-x} \) para obtener la solución general de la ecuación diferencial:</p> \[ y = -x sen(x) + (\int e^{-x}sen(x)dx) e^{x} + Ce^{x} \] <p>La integral restante se soluciona como se mencionó anteriormente para obtener la forma explícita de la solución.</p>
Solving First Order Linear Differential Equations
<p>Las condiciones para aplicar el método para resolver ecuaciones lineales de primer orden son que la ecuación diferencial pueda ser escrita en la forma \( \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \), donde \( P(x) \) y \( Q(x) \) son funciones continuas en algún intervalo.</p> <p>La ecuación diferencial dada es \( \frac{dy}{dx} = y - x^2 \sin(x) \).</p> <p>Reescribimos la ecuación para expresarla en la forma estándar de una ecuación lineal de primer orden:</p> <p>\( \frac{dy}{dx} - y = - x^2 \sin(x) \)</p> <p>Donde se puede ver que \( P(x) = -1 \) y \( Q(x) = - x^2 \sin(x) \), y ambos son continuos para todos los valores reales de \( x \), por lo que se cumplen las condiciones.</p> <p>El factor integrante es \( \mu(x) = e^{\int P(x)dx} = e^{\int -1dx} = e^{-x} \).</p> <p>Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el factor integrante:</p> <p>\( e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = - x^2 e^{-x} \sin(x) \)</p> <p>Transformamos el lado izquierdo en la derivada del producto de dos funciones, lo cual es posible porque es la ecuación diferencial de una función lineal de orden uno después de ser multiplicada por el factor integrante:</p> <p>\( \frac{d}{dx}(ye^{-x}) = - x^2 e^{-x} \sin(x) \)</p> <p>Integramos ambos lados respecto a \( x \):</p> <p>\( ye^{-x} = - \int x^2 e^{-x} \sin(x) dx \)</p> <p>La integral del lado derecho no es trivial y generalmente requiere de técnicas avanzadas de integración, como la integración por partes o el uso de series de potencias. Dado que el objetivo es proporcionar los pasos sin una explicación detallada, vamos a denotar la integral como \( I \) y continuar:</p> <p>\( ye^{-x} = I + C \), donde \( C \) es la constante de integración.</p> <p>Finalmente, despejamos \( y \) para obtener la solución general:</p> <p>\( y = e^{x}(I + C) \)</p> <p>Para encontrar la expresión explícita de \( I \), se necesitarían técnicas adicionales que no están dentro del alcance de esta solución.</p>
Solving a First-Order Linear Differential Equation
Las condiciones para aplicar el método para resolver ecuaciones lineales de primer orden son que la ecuación pueda escribirse en la forma \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\), donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son funciones continuas de \(x\) en algún intervalo. La ecuación dada es \(\frac{dy}{dx} - y = x^2 \sin x\). Se puede reescribir en la forma deseada identificando: <p>\(P(x) = -1\) y \(Q(x) = x^2 \sin x\)</p> Como \(P(x)\) y \(Q(x)\) son continuas en todo \(\mathbb{R}\), las condiciones se satisfacen. Para resolver la ecuación, primero encontramos el factor integrante \(\mu(x)\) tal que \(\mu(x) = e^{\int P(x)dx}\). <p>\(\mu(x) = e^{\int -1 dx} = e^{-x}\)</p> Multiplicamos ambos lados de la ecuación por \(\mu(x)\) para obtener: <p>\(e^{-x}\frac{dy}{dx} - e^{-x}y = x^2e^{-x}\sin x\)</p> La izquierda es ahora la derivada del producto de \(e^{-x}\) y \(y\): <p>\(\frac{d}{dx}(e^{-x}y) = x^2e^{-x}\sin x\)</p> Integramos ambos lados con respecto a \(x\): <p>\(\int \frac{d}{dx}(e^{-x}y) dx = \int x^2e^{-x}\sin x dx\)</p> <p>\(e^{-x}y = \int x^2e^{-x}\sin x dx + C\)</p> Donde \(C\) es la constante de integración. La integral del lado derecho no se puede expresar en términos de funciones elementales, por lo que se puede dejar en su forma integral o buscar una solución numérica o en serie, según sea necesario. Para encontrar la solución exacta, necesitaríamos métodos más avanzados como la integración por partes múltiples o la transformada de Laplace, que están fuera del alcance de este problema.
Solution to a First Order Linear Differential Equation
<p>Las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden tienen la forma \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\), donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son funciones continuas en un intervalo dado. Para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden se utiliza un factor integrante, \(\mu(x)\), definido por \(\mu(x) = e^{\int P(x) dx}\).</p> <p>La ecuación dada es:</p> <p>\[x\frac{dy}{dx} - y = x^3 \sin x\]</p> <p>Primero reescribimos la ecuación en la forma estándar dividiendo todo por \(x\) (dado que \(x \neq 0\)):</p> <p>\[\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = x^2 \sin x\]</p> <p>Identificamos \(P(x) = -\frac{1}{x}\) y \(Q(x) = x^2 \sin x\).</p> <p>Calculamos el factor integrante:</p> <p>\[\mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{|x|}\]</p> <p>Para mantener el contexto de la ecuación, podemos usar \(\mu(x) = \frac{1}{x}\) asumiendo que \(x > 0\).</p> <p>Multiplicamos ambos lados de la ecuación estándar por \(\mu(x)\):</p> <p>\[\frac{1}{x}\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2}y = \sin x\]</p> <p>Reescribimos el lado izquierdo como una derivada de un producto:</p> <p>\[\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x} y\right) = \sin x\]</p> <p>Integramos ambos lados con respecto a \(x\):</p> <p>\[\int \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x} y\right) dx = \int \sin x dx\]</p> <p>\[\frac{1}{x} y = -\cos x + C\]</p> <p>Despejamos para \(y\):</p> <p>\[y = -x \cos x + Cx\]</p> <p>Donde \(C\) es la constante de integración.</p>
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