Question - Solving a First-Order Linear Differential Equation
Solution:
Las condiciones para aplicar el método para resolver ecuaciones lineales de primer orden son que la ecuación pueda escribirse en la forma \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\), donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son funciones continuas de \(x\) en algún intervalo.
La ecuación dada es \(\frac{dy}{dx} - y = x^2 \sin x\). Se puede reescribir en la forma deseada identificando:
\(P(x) = -1\) y \(Q(x) = x^2 \sin x\)
Como \(P(x)\) y \(Q(x)\) son continuas en todo \(\mathbb{R}\), las condiciones se satisfacen. Para resolver la ecuación, primero encontramos el factor integrante \(\mu(x)\) tal que \(\mu(x) = e^{\int P(x)dx}\).\(\mu(x) = e^{\int -1 dx} = e^{-x}\)
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por \(\mu(x)\) para obtener:\(e^{-x}\frac{dy}{dx} - e^{-x}y = x^2e^{-x}\sin x\)
La izquierda es ahora la derivada del producto de \(e^{-x}\) y \(y\):\(\frac{d}{dx}(e^{-x}y) = x^2e^{-x}\sin x\)
Integramos ambos lados con respecto a \(x\):\(\int \frac{d}{dx}(e^{-x}y) dx = \int x^2e^{-x}\sin x dx\)
\(e^{-x}y = \int x^2e^{-x}\sin x dx + C\)
Donde \(C\) es la constante de integración. La integral del lado derecho no se puede expresar en términos de funciones elementales, por lo que se puede dejar en su forma integral o buscar una solución numérica o en serie, según sea necesario. Para encontrar la solución exacta, necesitaríamos métodos más avanzados como la integración por partes múltiples o la transformada de Laplace, que están fuera del alcance de este problema.CamTutor
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