Question - Differential Equation Non-exactness and Alternative Solution Approach

Dada la ecuación diferencial \( (x - \sqrt{x^2 + y^2})dx + ydy = 0 \), identifiquemos \( M(x, y) = x - \sqrt{x^2 + y^2} \) y \( N(x, y) = y \).

Calculamos las derivadas parciales de \( M \) y \( N \):

\( \frac{\partial M}{\partial y} = -\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \)

\( \frac{\partial N}{\partial x} = 0 \)

Como \( \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} \), la ecuación diferencial no es exacta.

\( \frac{1}{2}d(x^2 + y^2) = xdx + ydy \), que implica que

\( d\sqrt{x^2 + y^2} = \frac{dx + ydy}{\sqrt{x^2 + y^2}} \).

Integrando ambos lados de la ecuación, obtenemos:

\( \int d\sqrt{x^2 + y^2} = \int dx \)

\( \sqrt{x^2 + y^2} = x + C \),

donde \( C \) es la constante de integración.

Esta es una posible solución a la ecuación diferencial dada.