Question - Solution to a First Order Linear Differential Equation

Las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden tienen la forma \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\), donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son funciones continuas en un intervalo dado. Para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden se utiliza un factor integrante, \(\mu(x)\), definido por \(\mu(x) = e^{\int P(x) dx}\).

La ecuación dada es:

\[x\frac{dy}{dx} - y = x^3 \sin x\]

Primero reescribimos la ecuación en la forma estándar dividiendo todo por \(x\) (dado que \(x \neq 0\)):

\[\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = x^2 \sin x\]

Identificamos \(P(x) = -\frac{1}{x}\) y \(Q(x) = x^2 \sin x\).

Calculamos el factor integrante:

\[\mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{|x|}\]

Para mantener el contexto de la ecuación, podemos usar \(\mu(x) = \frac{1}{x}\) asumiendo que \(x > 0\).

Multiplicamos ambos lados de la ecuación estándar por \(\mu(x)\):

\[\frac{1}{x}\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2}y = \sin x\]

Reescribimos el lado izquierdo como una derivada de un producto:

\[\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x} y\right) = \sin x\]

Integramos ambos lados con respecto a \(x\):

\[\int \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x} y\right) dx = \int \sin x dx\]

\[\frac{1}{x} y = -\cos x + C\]

Despejamos para \(y\):

\[y = -x \cos x + Cx\]

Donde \(C\) es la constante de integración.