Question - Solving a First-Order Linear Differential Equation
Solution:
En este caso, tenemos \(P(x) = -1\) y \(Q(x) = x \cdot sen(x)\), ambas funciones continuas, así que podemos aplicar el método del factor integrante.
El factor integrante es \( \mu(x) = e^{\int P(x)dx} = e^{\int -1dx} = e^{-x}\).
Multiplicamos toda la ecuación por el factor integrante:
\[ e^{-x} \left( \frac{dy}{dx} - y \right) = x e^{-x} sen(x) \]Esto nos deja con:
\[ \frac{d}{dx} \left( e^{-x}y \right) = x e^{-x} sen(x) \]Integramos ambos lados con respecto a x:
\[ \int \frac{d}{dx} \left( e^{-x}y \right) dx = \int x e^{-x} sen(x) dx \]Utilizando la integración por partes en el lado derecho, donde sea \(u = x\) y \(dv = e^{-x} sen(x)dx\), obtenemos:
\[ e^{-x}y = -(xe^{-x}sen(x) - \int -e^{-x}sen(x)dx) + C \]El integral del lado derecho, \( \int e^{-x}sen(x)dx \), se resuelve de nuevo por partes o utilizando métodos tabulares, lo que resulta en una expresión que involucra términos de \( e^{-x}sen(x) \) y \( e^{-x}cos(x) \), más una constante de integración.
Finalmente, se despeja \( y \) dividiendo todo por \( e^{-x} \) para obtener la solución general de la ecuación diferencial:
\[ y = -x sen(x) + (\int e^{-x}sen(x)dx) e^{x} + Ce^{x} \]La integral restante se soluciona como se mencionó anteriormente para obtener la forma explícita de la solución.
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