Question - Differential Equations and Intelligent Solutions

Primero verificamos si la ecuación dada \((x - \sqrt{x^2 + y^2})dx + y dy = 0\) es exacta calculando las derivadas parciales de \(M(x, y) = x - \sqrt{x^2 + y^2}\) y \(N(x, y) = y\) respecto a \(y\) y \(x\) respectivamente.

\(\frac{\partial M}{\partial y} = -\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\)

\(\frac{\partial N}{\partial x} = 0\)

Dado que \(\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}\), la ecuación no es exacta.

Se propone reacomodar la ecuación dada como \((d(x + y)/\sqrt{x^2 + y^2}) dx = dy\), lo que implica que podemos multiplicar ambos lados de la ecuación original por un factor integrante \(\mu = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\) para hacerla exacta:

\(\mu(x - \sqrt{x^2 + y^2})dx + \mu y dy = 0\)

\(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}(x dx - (x^2 + y^2)^\frac{1}{2} dx) + \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} y dy = 0\)

Reorganizando términos obtenemos:

\(d\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}dy = \frac{dx}{\sqrt{x^2 + y^2}} + d\left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) - \frac{dx}{\sqrt{x^2 + y^2}}\)

Cancelemos \(\frac{dx}{\sqrt{x^2 + y^2}}\) en ambos lados y nos queda:

\(d\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) + d\left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) = 0\)

Integrando ambos lados con respecto a \(x\) y a \(y\) respectivamente, encontramos que:

\(\int d\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) + \int d\left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) = C\)

Esto implica que la función:

\(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = C\)

es una solución a la ecuación diferencial dada, donde \(C\) es una constante de integración.