Example Question - hypothesis testing
Here are examples of questions we've helped users solve.
Assessment of an Amateur Swimmer's Performance and Statistical Analysis
<p>(a)</p> <p>To find the probability that Zhou wins a randomly chosen race, we use the area of the overlapping section of two normal distributions.</p> <p>Let \( Z_Z \) be the standard normal variable for Zhou's time,</p> \[ Z_Z = \frac{X - 80}{2} \] <p>Let \( Z_T \) be the standard normal variable for Tan's time,</p> \[ Z_T = \frac{X - 79}{3} \] <p>We need P(\( Z_Z < Z_T \)) which is equivalent to P(\( X_Z < X_T \)).</p> <p>Let \( D = X_T - X_Z \), where \( D \) follows N(1, \( 2^2 + 3^2 \)) since \( Var(X_T - X_Z) = Var(X_T) + Var(X_Z) \) as they are independent.</p> <p>Hence, \( D \) ~ N(1, 13).</p> <p>We can standardize \( D \) to get \( Z_D \) ~ N(0, 1) and find P(\( Z_D > 0 \)) to find the probability that Tan wins:</p> \[ Z_D = \frac{D - 1}{\sqrt{13}} \] \[ P(Z_D > 0) = P\left(\frac{D - 1}{\sqrt{13}} > \frac{0 - 1}{\sqrt{13}}\right) \] \[ P(Z_D > 0) = P(Z_D > -1/\sqrt{13}) \] <p>Using standard normal tables, find P(\( Z_D > -0.277 \)).</p> <p>The probability that Zhou wins is the complement of this probability:</p> \[ P(Zhou\ wins) = 1 - P(Tan\ wins) \] \[ P(Zhou\ wins) = 1 - P(Z_D > -0.277) \] <p>(b)</p> <p>Population mean estimate (unbiased) for Zhou's times (µ̂):</p> \[ \mû = \bar{X} = \frac{\sum{X}}{n} = \frac{2376.3}{30} \] <p>Population variance estimate for Zhou's times (σ̂²):</p> \[ \sigmâ^2 = \frac{\sum{X^2} - \frac{(\sum{X})^2}{n}}{n-1} \] \[ \sigmâ^2 = \frac{188653.7 - \frac{(2376.3)^2}{30}}{30 - 1} \] <p>(c)</p> <p>Null Hypothesis \( H_0 \): Zhou's mean time has not reduced, \( \mu = \mu_0 \), where \( \mu_0 \) is the mean time before the exercise regime.</p> <p>Alternative Hypothesis \( H_1 \): Zhou's mean time has reduced, \( \mu < \mu_0 \).</p> <p>The test statistic for a left-tailed t-test, since \( n \) is small and population variance is unknown, is:</p> \[ t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} \] <p>Use t-tables to find critical value for α = 0.05 and \( n-1 \) degrees of freedom. If \( t < t_{critical} \), reject \( H_0 \).</p> <p>(d)</p> <p>Tan should use a 2-tail test because he is trying to determine if his times have either increased or decreased, not just in one direction.</p> <p>(e)</p> <p>The two assumptions made by Tan are:</p> \begin{itemize} \item The sample of recorded times is normally distributed. \item The recorded times are independent of each other. \end{itemize} Please note the actual calculations have not been performed, and the solution steps provided are intended to be general instructions on how to proceed with solving the given problems.
Most Supportive Finding for Researchers' Hypothesis
This is an image displaying a question and multiple-choice answers related to a hypothetical study of a prehistoric reptile species called 'P. dolichodeirus.' Since this is not a math problem, there is no Latex formatted solution necessary. Users are to choose which of the findings, if true, would most directly support the researchers' hypothesis. The best choice should be based on the context and content given in the image.
Hypothesis Testing for Population Mean with Known Variance
Para resolver esta pregunta, necesitamos realizar una prueba de hipótesis para la media de una distribución normal con una varianza conocida. Aquí se describe una situación en la que se toma una muestra de tamaño n = 6 de un diámetro de alambre eléctrico, y queremos probar si la media poblacional es de 2 mm contra la hipótesis alternativa de que la media poblacional no es de 2 mm. Este es un ejemplo clásico de una prueba de hipótesis de dos colas. Para encontrar el valor del estadístico de prueba, utilizamos la fórmula: \[ z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \] Donde: - \(\bar{x}\) es la media de la muestra, - \(\mu_0\) es la media poblacional bajo la hipótesis nula, que en este caso es 2 mm, - \(\sigma\) es la desviación estándar poblacional, que aquí es 0.06 mm, - \(n\) es el tamaño de la muestra. De acuerdo con la imagen, la media de la muestra \(\bar{x}\) es de 1.96 mm. Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula, obtenemos: \[ z = \frac{1.96 - 2}{0.06/\sqrt{6}} \] \[ z = \frac{-0.04}{0.06/\sqrt{6}} \] \[ z = \frac{-0.04}{0.02449} \] \[ z \approx -1.63 \] Así que la letra que corresponde al valor más cercano a nuestro resultado calculado sería la B, que tiene el valor de -1.64. Es importante recordar que al realizar pruebas estadísticas se utilizan valores estandarizados que se aproximan, y -1.63 se redondea a -1.64 al tener que escoger entre las opciones dadas.
Calculation of Test Statistic for Hypothesis Testing
Por supuesto, la tarea consiste en calcular el valor del estadístico de prueba para una hipótesis nula donde la media poblacional es igual a 2 cm frente a una alternativa de otro valor, dado una muestra con media de 1.95 cm y desviación típica de 0.06 cm. Primero, establecemos la hipótesis nula y la hipótesis alternativa: H0: μ = 2 cm (hipótesis nula) H1: μ ≠ 2 cm (hipótesis alternativa) La fórmula que se usa para calcular el estadístico de prueba (z) es la siguiente: \[ z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \] donde: - \(\bar{x}\) es la media de la muestra (1.95 cm), - \(\mu\) es la media poblacional bajo la hipótesis nula (2 cm), - \(\sigma\) es la desviación estándar de la población (0.06 cm), - \(n\) es el tamaño de la muestra (que no se proporciona en el enunciado pero es requerido para realizar el cálculo). Dado que no se nos da el tamaño de muestra en la imagen, no podemos calcular el valor exacto de z. Sin embargo, para responder a la pregunta sobre cuál de las opciones presentadas es correcta, debemos asumir que el tamaño de muestra es lo suficientemente grande como para que el estadístico de prueba tenga sentido. Asumiendo que tenemos n grande, el valor de z se va a aproximar a simplemente: \[ z = \frac{1.95 - 2.00}{0.06} \] Ahora hacemos el cálculo: \[ z = \frac{-0.05}{0.06} \] \[ z = -0.8333... \] El valor más cercano entre las opciones dadas es: a. -1.5 b. -2.5 c. -0.25 La que más se acerca al valor calculado de -0.8333 es la opción c. -0.25. Sin embargo, debes notar que hay un ligero error en la presentación de las opciones o en el cálculo debido a la falta de información sobre el tamaño de la muestra. Con la información proporcionada, la respuesta más cercana sería la opción c, pero el valor real calculado es algo mayor en magnitud negativa.
Hypothesis Testing for Population Mean with Two-Tailed Test
Vamos a resolver el problema utilizando una prueba de hipótesis para la media. Queremos probar si la media poblacional \(\mu\) es de 2 cm frente a una alternativa de otro valor, con un nivel de significancia de \(\alpha = 0.05\). La hipótesis nula es \(H_0: \mu = 2\) y la hipótesis alternativa es \(H_1: \mu \neq 2\). Para calcular el estadístico de prueba z, utilizamos la fórmula: \[ z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \] Donde: - \(\bar{x}\) es la media muestral, que es de 1.96 según el problema. - \(\mu_0\) es la media poblacional bajo la hipótesis nula, que es 2. - \(\sigma\) es la desviación estándar de la población, que es de 0.06. - \(n\) es el tamaño de la muestra, que es 6. Sustituimos los valores conocidos: \[ z = \frac{1.96 - 2}{\frac{0.06}{\sqrt{6}}} = \frac{-0.04}{\frac{0.06}{\sqrt{6}}} \] Calculamos el denominador: \[ \frac{0.06}{\sqrt{6}} = \frac{0.06}{2.4495} = 0.0245 \] Ahora calculamos el valor de \(z\): \[ z = \frac{-0.04}{0.0245} = -1.63 \] Así que el valor del estadístico de prueba \(z\) es aproximadamente -1.63. Buscando en la tabla de distribución normal estándar o utilizando un software estadístico, puedes determinar si este valor de z es menor que el valor crítico para un nivel de significancia de 0.05 (dos colas). En este caso, el valor crítico absoluto para \(\alpha = 0.05\) en dos colas es aproximadamente 1.96. Como nuestro valor observado de |-1.63| no es mayor que 1.96, no rechazamos la hipótesis nula. Esto significa que no hay suficiente evidencia para decir que la media es diferente de 2 cm al nivel de significancia del 0.05. La respuesta correcta a la pregunta planteada en la imagen, sobre el valor del estadístico de prueba, es: B. -1.63
Hypothesis Testing for Population Mean with Normal Distribution
Para resolver este problema, necesitamos realizar una prueba de hipótesis para la media poblacional, utilizando la información proporcionada. Como es mencionado, se están utilizando diametros de agujeros que tienen una distribución normal con una media de 2 cm y una desviación típica de 0.06 cm. La hipótesis nula (H0) es que la media poblacional (μ) es igual a 2 cm, mientras que la hipótesis alternativa (Ha) es que la media poblacional es diferente de 2 cm. Esto es una prueba de dos colas. Los pasos son los siguientes: 1. Establecer las hipótesis: H0: μ = 2 Ha: μ ≠ 2 2. Establecer el nivel de significancia (\(\alpha\)): \(\alpha = 0.05\) 3. Calcular el estadístico de prueba (z). Para eso, usamos la fórmula: \[ z = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \] Donde \(\bar{x}\) es la media de la muestra, \(\mu\) es la media poblacional bajo la H0, \(\sigma\) es la desviación estándar poblacional, y \(n\) es el tamaño de la muestra. En este caso, \(\bar{x} = 1.95\), \(\mu = 2\), \(\sigma = 0.06\), y \(n = 6\). 4. Calcular el estadístico de prueba (z): \[ z = \frac{1.95 - 2}{\frac{0.06}{\sqrt{6}}} \] \[ z = \frac{-0.05}{\frac{0.06}{\sqrt{6}}} \] \[ z = \frac{-0.05}{0.02449} \] \[ z ≈ -2.04 \] 5. Determinar los valores críticos para \(\alpha = 0.05\) en una prueba de dos colas, que es \(\pm 1.96\) para una distribución normal. 6. Tomar una decisión respecto a la hipótesis nula basada en el estadístico de prueba y los valores críticos: Dado que el valor absoluto del estadístico de prueba \(z\) es mayor que el valor crítico 1.96 (\(|-2.04| > 1.96\)), rechazamos la hipótesis nula a favor de la hipótesis alternativa. Conclusión: Con un nivel de significancia del 0.05, hay suficiente evidencia estadística para afirmar que el diámetro medio de los agujeros es diferente a 2 cm.
Hypothesis Testing for Diameter of Holes in Metal Plate
Para resolver la prueba de hipótesis del diámetro de los agujeros en la placa de metal, primero necesitamos establecer nuestras hipótesis nula y alternativa, luego calcular el estadístico de prueba y finalmente tomar una decisión basada en el nivel de significancia dado. Las hipótesis se establecen así: H0: μ = 2 cm (la hipótesis nula indica que la media poblacional es de 2 cm) H1: μ ≠ 2 cm (la hipótesis alternativa indica que la media poblacional es diferente de 2 cm) El nivel de significancia es α = 0.05. Para realizar la prueba, asumimos que la distribución de los diámetros es normal y conocemos la desviación típica (σ=0.06 cm). Debido a que la desviación típica poblacional es conocida, podemos usar la distribución normal estándar para calcular el estadístico de prueba (z). La fórmula del estadístico de prueba para la media es: \( z = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \) Donde: - \( \bar{x} \) es la media muestral - μ es la media poblacional - σ es la desviación estándar poblacional - n es el tamaño de la muestra Sustituimos los valores que tenemos: \( \bar{x} = 1.95 \) cm (es la media de la muestra) μ = 2 cm (es la media poblacional bajo la hipótesis nula) σ = 0.06 cm (es la desviación estándar poblacional) n = 6 (es el tamaño de la muestra) Calculando el estadístico de prueba: \( z = \frac{1.95 - 2}{\frac{0.06}{\sqrt{6}}} = \frac{-0.05}{\frac{0.06}{\sqrt{6}}} = \frac{-0.05}{0.02449} ≈ -2.0412 \) Con el valor de z calculado, comparamos este resultado con los valores críticos de z para un nivel de significancia de 0.05 en una prueba de dos colas. Los valores críticos son aproximadamente ±1.96. Como la z calculada (-2.0412) es menor que -1.96, rechazamos la hipótesis nula (H0). Por lo tanto, concluimos que hay suficiente evidencia a nivel de significancia del 0.05 para afirmar que la media poblacional del diámetro no es igual a 2 cm.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com