Question - Hypothesis Testing for Population Mean with Normal Distribution
Solution:
Para resolver este problema, necesitamos realizar una prueba de hipótesis para la media poblacional, utilizando la información proporcionada. Como es mencionado, se están utilizando diametros de agujeros que tienen una distribución normal con una media de 2 cm y una desviación típica de 0.06 cm.La hipótesis nula (H0) es que la media poblacional (μ) es igual a 2 cm, mientras que la hipótesis alternativa (Ha) es que la media poblacional es diferente de 2 cm. Esto es una prueba de dos colas.Los pasos son los siguientes:1. Establecer las hipótesis:H0: μ = 2Ha: μ ≠ 22. Establecer el nivel de significancia ($$\alpha$$):$$\alpha = 0.05$$3. Calcular el estadístico de prueba (z). Para eso, usamos la fórmula:\[ z = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \]Donde $$\bar{x}$$ es la media de la muestra, $$\mu$$ es la media poblacional bajo la H0, $$\sigma$$ es la desviación estándar poblacional, y $$n$$ es el tamaño de la muestra. En este caso, $$\bar{x} = 1.95$$, $$\mu = 2$$, $$\sigma = 0.06$$, y $$n = 6$$.4. Calcular el estadístico de prueba (z):\[ z = \frac{1.95 - 2}{\frac{0.06}{\sqrt{6}}} \]\[ z = \frac{-0.05}{\frac{0.06}{\sqrt{6}}} \]\[ z = \frac{-0.05}{0.02449} \]\[ z ≈ -2.04 \]5. Determinar los valores críticos para $$\alpha = 0.05$$ en una prueba de dos colas, que es $$\pm 1.96$$ para una distribución normal.6. Tomar una decisión respecto a la hipótesis nula basada en el estadístico de prueba y los valores críticos: Dado que el valor absoluto del estadístico de prueba $$z$$ es mayor que el valor crítico 1.96 ($$|-2.04| > 1.96$$), rechazamos la hipótesis nula a favor de la hipótesis alternativa.Conclusión: Con un nivel de significancia del 0.05, hay suficiente evidencia estadística para afirmar que el diámetro medio de los agujeros es diferente a 2 cm.
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