Question - Hypothesis Testing for Diameter of Holes in Metal Plate
Solution:
Para resolver la prueba de hipótesis del diámetro de los agujeros en la placa de metal, primero necesitamos establecer nuestras hipótesis nula y alternativa, luego calcular el estadístico de prueba y finalmente tomar una decisión basada en el nivel de significancia dado. Las hipótesis se establecen así:H0: μ = 2 cm (la hipótesis nula indica que la media poblacional es de 2 cm)H1: μ ≠ 2 cm (la hipótesis alternativa indica que la media poblacional es diferente de 2 cm)El nivel de significancia es α = 0.05.Para realizar la prueba, asumimos que la distribución de los diámetros es normal y conocemos la desviación típica (σ=0.06 cm). Debido a que la desviación típica poblacional es conocida, podemos usar la distribución normal estándar para calcular el estadístico de prueba (z). La fórmula del estadístico de prueba para la media es:$$ z = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} $$Donde:- $$ \bar{x} $$ es la media muestral- μ es la media poblacional- σ es la desviación estándar poblacional- n es el tamaño de la muestraSustituimos los valores que tenemos:$$ \bar{x} = 1.95 $$ cm (es la media de la muestra)μ = 2 cm (es la media poblacional bajo la hipótesis nula)σ = 0.06 cm (es la desviación estándar poblacional)n = 6 (es el tamaño de la muestra)Calculando el estadístico de prueba:$$ z = \frac{1.95 - 2}{\frac{0.06}{\sqrt{6}}} = \frac{-0.05}{\frac{0.06}{\sqrt{6}}} = \frac{-0.05}{0.02449} ≈ -2.0412 $$Con el valor de z calculado, comparamos este resultado con los valores críticos de z para un nivel de significancia de 0.05 en una prueba de dos colas. Los valores críticos son aproximadamente ±1.96.Como la z calculada (-2.0412) es menor que -1.96, rechazamos la hipótesis nula (H0).Por lo tanto, concluimos que hay suficiente evidencia a nivel de significancia del 0.05 para afirmar que la media poblacional del diámetro no es igual a 2 cm.
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