Example Question - functions
Here are examples of questions we've helped users solve.
Graphing Intervals and Functions
<p>Para representar gráficamente los intervalos, comenzamos con:</p> <p>a. [1, 2): Una línea sólida desde 1 hasta 2, sin incluir 2.</p> <p>b. (-∞, 2]: Una línea sólida que se extiende desde -∞ hasta 2, incluyendo 2.</p> <p>c. (-5, 0): Una línea sólida desde -5 hasta 0, sin incluir 0.</p> <p>d. [2, ∞): Una línea sólida desde 2 hacia el infinito, incluyendo 2.</p> <p>e. (-∞, -1]: Una línea sólida que se extiende desde -∞ hasta -1, incluyendo -1.</p> <p>Para la función:</p> <p>a. \( y = \sqrt{x - 4} \): El dominio es \( x \geq 4 \) y el rango es \( y \geq 0 \).</p> <p>b. \( y = \sqrt{x + 1} \): El dominio es \( x \geq -1 \) y el rango es \( y \geq 0 \).</p>
Derivative of a Quotient of Two Functions
\[ \begin{align*} &\text{Αν } f,g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις για κάθε } x \in \mathbb{R},\\ &\text{τότε η παράγωγος του πηλίκου των συναρτήσεων } \left(\frac{f}{g}\right)(x) \text{ δίνεται από:}\\ \\ &p\left(\frac{f}{g}\right)(x) = p\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \end{align*} \]
Understanding Functions and Their Inverses
The image displays two functions, h and g. The function h is defined as h: x → 2x+1, for real numbers x such that 0 ≤ x ≤ k, and the function g is defined as g: x → 2x for 0 ≤ x ≤ 1/2 and 2 - 2x for 1/2 ≤ x ≤ 1. Part i of the question asks: Given that the function h has an inverse, state the greatest value of k. Find h⁻¹(½) and g(h⁻¹(½)). To solve part i, let's break it down: 1. **Function h having an inverse:** A function has an inverse if and only if it is one-to-one (injective), which means it never assigns the same value to two different domain elements. The function h given by h(x) = 2x + 1 is a linear function with a positive slope, which is injective over the entire domain of real numbers. Thus, there is no restriction on the value of k for h to have an inverse, and the greatest value of k is the largest value in the domain of x given for h, which is ∞. However, given the typical constraints of such problems, the greatest value of k could be considered the maximum value for which h is defined, which would be k if we associate it with the boundary of the domain. Since the problem does not specify an upper limit to the domain, we assume k can grow indefinitely. 2. **Finding h⁻¹(½):** The inverse function, h⁻¹(x), will undo the operation performed by h(x). That is, if h(x) = 2x + 1, then for h⁻¹(y), where y = h(x), we must have x = (y - 1)/2. So, h⁻¹(½) means we should solve (½ - 1)/2 for x: h⁻¹(½) = (½ - 1)/2 = (-½)/2 = -¼ 3. **Finding g(h⁻¹(½)):** Now that we have x = -¼, we need to determine which piece of the piecewise function g to use. Since -¼ is not within the domain of either piece of g as defined, g(h⁻¹(½)) is not directly determined from the given definition of g and this seems to be an issue with either the domain of g as presented or the parameters of the problem. Typically, with the domain given for g, it's likely intended for positive values of x, and h⁻¹(½) gives us a negative value. Thus, there must be an assumption or additional information about function g beyond the given domain, or an error in the problem as written. In conclusion, for part i, the greatest value of k isn't constrained by the information given, and to find g(h⁻¹(½)), we would need further clarification on the behavior of g beyond the domain provided in the image.
Discontinuity Analysis of Two Functions
El ejercicio muestra dos gráficos de funciones y pide analizar en qué puntos ocurren discontinuidades. Para la gráfica de la izquierda, que corresponde a la función f(x), se puede observar que hay una discontinuidad en x = -1. Esto se debe a que la gráfica tiene una interrupción allí: la función salta de un valor en la parte inferior del gráfico directamente a otro en la parte superior sin pasar por los valores intermedios. Para la gráfica de la derecha, que es la función g(x) = (x^2 - 1)/(x - 1), parece haber un agujero o punto de discontinuidad en x = 1. Esto es común en funciones racionales cuando el numerador y el denominador tienen factores comunes que pueden ser cancelados, pero solo si x no es igual al valor que hace que el denominador sea cero. En este caso, si factorizas el numerador como (x + 1)(x - 1) y simplificas la función con el denominador, queda x + 1 para todos los valores de x excepto x = 1, donde la función no está definida originalmente y hay una discontinuidad. En la gráfica, esto se muestra como un pequeño círculo donde la función no tiene valor. Entonces, los puntos donde ocurre la discontinuidad son: - Para f(x): x = -1 - Para g(x): x = 1
Analysis of Functions' Discontinuities
Claro, primero analicemos la gráfica de la izquierda, que corresponde a la función f(x). Observamos que hay un punto de discontinuidad en x = 0. Esto se debe a que la gráfica tiene un salto en ese punto; es decir, el límite de la función f(x) cuando x se aproxima a 0 desde la izquierda no es igual al límite de la función cuando x se aproxima a 0 desde la derecha. Ahora, analicemos la gráfica de la derecha, que corresponde a la función g(x) = 1/(x^2+1). Podemos ver que la función es continua en todo su dominio. La gráfica no presenta saltos, asíntotas ni huecos; por lo tanto, no hay discontinuidades en esta función. En resumen: - La función f(x) tiene una discontinuidad en x = 0. - La función g(x) no presenta discontinuidades.
Analysis of Functions and Graphs
Trong bảng biến thiên, ta có thể thấy rằng hàm số \( y = f(x) \) có đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 và đồ thị tiến đến vô cực khi x tiến đến 1 từ hai phía. Đồ thị cũng có hai điểm cực trị là một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Hơn nữa, đồ thị hội tụ về các giá trị ngang không xác định khi x tiến đến -1 từ hai phía. Câu hỏi đầu tiên hỏi về tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số \( y = f(x) \). Dựa vào bảng biến thiên: - Ta có một tiệm cận đứng là x = 1 vì đồ thị tiến đến vô cực khi x tiến đến 1. - Ta có một tiệm cận ngang khi x tiến đến -1, nhưng không thể xác định nếu đó là tiệm cận ngang hoặc tiếp cận đường cong theo cách đó mà không có thêm thông tin. Vậy tổng số tiệm cận là ít nhất 1 và có thể là 2 nếu coi đường tiệm cận khi x tiến đến -1 là tiệm cận ngang. Câu hỏi thứ hai hỏi về hàm số nào dưới đây có thể có đồ thị tạo thành các đường cong trong hình bên? Các hàm số đề xuất là: A. \( y = \frac{2x-1}{x+1} \) B. \( y = \frac{-2x+1}{x+1} \) Ta có thể loại trừ hàm số A vì nó có tiệm cận ngang y = 2 khi x tiến ra vô cực, không phù hợp với đồ thị trong hình bên. Hàm số B, \( y = \frac{-2x+1}{x+1} \), có tiệm cận đứng là x = -1 và tiệm cận ngang là y = -2 khi x tiến ra vô cực. Hàm số này cũng có thể cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1 khi x = 0, điều này không hoàn toàn phù hợp với đồ thị cho trước vì đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Tuy nhiên, không có thông tin đủ để xác định chắc chắn vì trục tung trong hình vẽ không hiển thị rõ tung độ tại điểm cắt của đồ thị, cũng như không có thông tin đầy đủ về hành vi của đồ thị khi x tiến đến vô cực. Cần có thêm thông tin để xác định chính xác hàm số nào phản ánh đồ thị trong hình bên một cách chính xác nhất. Như vậy, dựa trên thông tin có sẵn, ta không có đủ dữ liệu để đưa ra câu trả lời chắc chắn cho cả hai câu hỏi.
Set Theory and Relations Worksheet
This image appears to show a question from an academic worksheet or test, related to set theory and relations. (a) The first part of the question asks you to state the (i) object part 3, (ii) the relation in the form of a set of ordered pairs. From the diagram, we can see that Set A includes the elements {1, 2, 3, 4} and Set B includes the elements {5, 6, 7, 8}. (i) The object part 3 in Set A appears to be related to the number 7 in Set B. (ii) As for the relation in the form of a set of ordered pairs, we would read the arrows connecting elements of Set A to elements of Set B to form these pairs. The complete set of ordered pairs, assuming we can see all links between the sets, appears to be: R = {(1, 5), (1, 6), (2, 6), (2, 7), (3, 7), (4, 8)} (b) For the second part of the question, we need to determine whether this relation is a function or not and provide reasoning for the answer. A relation from Set A to Set B is a function if and only if every element of Set A is related to no more than one element in Set B. Looking at the ordered pairs and the diagram: 1 is related to 5 and 6, which is more than one element of Set B. 2 is related to 6 and 7, which is more than one element of Set B. 3 is related only to 7. 4 is related only to 8. Since at least one element of Set A (specifically 1 and 2) is related to more than one element of Set B, the relation is NOT a function. Thus, your answer to part (b) would be that the relation is not a function because there exists an element in Set A that is related to more than one element in Set B.
Comparing Average Rates of Change of Functions
The question is asking to compare the average rates of change for the pair of functions over the given interval [1, 5]. The given functions are: - \( f(x) = 9x^2 \) - \( g(x) = 1 + 3x^2 \) The average rate of change of a function over an interval \([a, b]\) can be found using the formula: \[ \text{Average rate of change} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \] Let's compute this for each function over the interval [1, 5]. For \( f(x) = 9x^2 \): - \( f(1) = 9(1)^2 = 9 \) - \( f(5) = 9(5)^2 = 225 \) - \( \text{Average rate of change of} \ f(x) \text{ over} \ [1, 5] = \frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = \frac{225 - 9}{4} = \frac{216}{4} = 54 \) For \( g(x) = 1 + 3x^2 \): - \( g(1) = 1 + 3(1)^2 = 4 \) - \( g(5) = 1 + 3(5)^2 = 1 + 75 = 76 \) - \( \text{Average rate of change of} \ g(x) \text{ over} \ [1, 5] = \frac{g(5) - g(1)}{5 - 1} = \frac{76 - 4}{4} = \frac{72}{4} = 18 \) Therefore: - The average rate of change of \( f(x) \) over [1, 5] is \( 54 \). - The average rate of change of \( g(x) \) over [1, 5] is \( 18 \). - The average rate of change of \( f(x) - g(x) \) over [1, 5] is \( 54 - 18 = 36 \). So, the average rate of change of \( f \) over [1, 5] is \( 54 \), of \( g \) over [1, 5] is \( 18 \), and of \( f - g \) over [1, 5] is \( 36 \).
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com