Question - Derivative of a Quotient of Two Functions
Solution:
\[
\begin{align*}
&\text{Αν } f,g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις για κάθε } x \in \mathbb{R},\\
&\text{τότε η παράγωγος του πηλίκου των συναρτήσεων } \left(\frac{f}{g}\right)(x) \text{ δίνεται από:}\\
\\
&p\left(\frac{f}{g}\right)(x) = p\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}
\end{align*}
\]
Tutor Solution:
Φαίνεται ότι έχουμε μια άσκηση που αφορά την απόδειξη μιας σχέσης μεταξύ παραγώγων. Η σχέση που πρέπει να αποδειχθεί είναι:
\[\frac{{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}}{{[f(x)]^2}} = \frac{g'(x)}{g(x)} - \frac{f'(x)}{f(x)}\]
Ας ξεκινήσουμε με το δεξί μέρος της εξίσωσης. Σκοπός μας είναι να φτάσουμε στο αριστερό μέρος.\[\frac{g'(x)}{g(x)} - \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{{f(x)g'(x) - g(x)f'(x)}}{{f(x)g(x)}}\]
Πρώτα, κάνουμε το εξής: επαναγράφουμε τους όρους του δεξιού μέλους υπό τον ίδιο κοινό παρονομαστή \(f(x)g(x)\). Για να κάνουμε αυτό, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με \(f(x)\) και του δεύτερου κλάσματος με \(g(x)\), όπως φαίνεται παρακάτω:\[\frac{{g'(x)}}{{g(x)}} - \frac{{f'(x)}}{{f(x)}} = \frac{{f(x)g'(x)}}{{f(x)g(x)}} - \frac{{g(x)f'(x)}}{{f(x)g(x)}}\]
Στη συνέχεια, συγκεντρώνουμε τους όρους πάνω από τον κοινό παρονομαστή:\[\frac{{f(x)g'(x) - g(x)f'(x)}}{{f(x)g(x)}}\]
Τώρα που έχουμε φτάσει στο επιθυμητό αποτέλεσμα για το δεξί μέλος, μπορούμε να συγκρίνουμε με το αριστερό μέλος της αρχικής εξίσωσης:\[ \frac{{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}}{{[f(x)]^2}} \]
Αν παρατηρήσουμε τους παρονομαστές, θα δούμε ότι ο παρονομαστής του αριστερού μέλους μπορεί να γραφτεί ως \(f(x)g(x)\), καθώς η \(g(x)\) μπορεί να ακυρωθεί με την \(g(x)\) στον αριθμητή. Έτσι, το αριστερό μέλος γίνεται:\[\frac{{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}}{{f(x)g(x)}}\]
Βλέπουμε λοιπόν ότι τα δύο μέλη είναι ταυτόσημα, και έτσι έχουμε αποδείξει την ισότητα που ζητήθηκε.CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com