Example Question - decimal system
Here are examples of questions we've helped users solve.
Number Conversion Between Different Bases
Die Aufgabe verlangt, dass wir die gegebenen Zahlen aus ihren ursprünglichen Stellenwertsystemen in die jeweils angegebenen Stellenwertsysteme umwandeln. Hier sind die Schritte für jede Umwandlung: a) \( (255)_8 \) nach \( (_)_{10} \) - Das ist eine Umwandlung von einem oktalen Zahlensystem (Basis 8) in ein dezimales Zahlensystem (Basis 10). - Wir zerlegen die Zahl nach ihren Stellenwerten: \( 2 \times 8^2 + 5 \times 8^1 + 5 \times 8^0 \) - Das ergibt: \( 2 \times 64 + 5 \times 8 + 5 \times 1 \) - Also: \( 128 + 40 + 5 = 173 \) - Antwort: \( (255)_8 = (173)_{10} \) b) \( (3333)_7 \) nach \( (_)_{11} \) - Zuerst konvertieren wir die Zahl in das dezimale System: - \( 3 \times 7^3 + 3 \times 7^2 + 3 \times 7^1 + 3 \times 7^0 \) - Das ergibt: \( 3 \times 343 + 3 \times 49 + 3 \times 7 + 3 \times 1 \) - Also: \( 1029 + 147 + 21 + 3 = 1200 \) - Jetzt wandeln wir die Dezimalzahl in das System mit der Basis 11 um: - \( 1200 \div 11 = 109 \) Rest 1 - \( 109 \div 11 = 9 \) Rest 10, welches im System mit der Basis 11 durch das Zeichen "A" ersetzt wird. - \( 9 \div 11 = 0 \) Rest 9 - Wir sammeln die Reste in umgekehrter Reihenfolge: \( 9A1 \) - Antwort: \( (3333)_7 = (9A1)_{11} \) c) \( (ABCD)_{16} \) nach \( (_)_{25} \) - Hier wandeln wir eine Zahl vom hexadezimalen System (Basis 16) in das System mit der Basis 25 um. - Zuerst wandeln wir die Zahl in das dezimale System um (A=10, B=11, C=12, D=13): - \( A \times 16^3 + B \times 16^2 + C \times 16^1 + D \times 16^0 \) - Das ergibt: \( 10 \times 4096 + 11 \times 256 + 12 \times 16 + 13 \times 1 \) - Also: \( 40960 + 2816 + 192 + 13 = 43981 \) - Jetzt wandeln wir die Dezimalzahl in das System mit der Basis 25 um: - \( 43981 \div 25 = 1759 \) Rest 6 - \( 1759 \div 25 = 70 \) Rest 9 - \( 70 \div 25 = 2 \) Rest 20, welches wir als "K" darstellen können, da es das zwanzigste Zeichen im Alphabet ist (wenn man bei 0 beginnt zu zählen). - \( 2 \div 25 = 0 \) Rest 2 - Wir sammeln die Reste in umgekehrter Reihenfolge: \( 2K96 \) - Antwort: \( (ABCD)_{16} = (2K96)_{25} \) Beachte bitte, dass beim Umwandeln in bzw. aus Basen, die größer als 10 sind, Buchstaben verwendet werden, um Werte größer als 9 darzustellen (z.B. im hexadezimalen System, wo A = 10 bis F = 15).
Number Conversion to Different Bases
Die Aufgabenstellung lautet, die Zahl 12599 aus dem Dezimalsystem in andere Stellenwertsysteme umzurechnen. Wir verwenden die Modulo- oder Restschreibweise. Ich werde die Umrechnung für alle angegebenen Basen durchführen. Für Basis b=2 (Binärsystem): Wir teilen 12599 durch 2 und schreiben den Rest auf. Wir wiederholen diesen Prozess mit dem Ergebnis der Division, bis wir 0 erreichen. 12599 / 2 = 6299 Rest 1 6299 / 2 = 3149 Rest 1 3149 / 2 = 1574 Rest 1 1574 / 2 = 787 Rest 0 787 / 2 = 393 Rest 1 393 / 2 = 196 Rest 1 196 / 2 = 98 Rest 0 98 / 2 = 49 Rest 0 49 / 2 = 24 Rest 1 24 / 2 = 12 Rest 0 12 / 2 = 6 Rest 0 6 / 2 = 3 Rest 0 3 / 2 = 1 Rest 1 1 / 2 = 0 Rest 1 Nun schreiben wir die Reste rückwärts auf, um die Binärdarstellung zu erhalten: \(12599_{10} = 11000100001111_2\) Für Basis b=5: 12599 / 5 = 2519 Rest 4 2519 / 5 = 503 Rest 4 503 / 5 = 100 Rest 3 100 / 5 = 20 Rest 0 20 / 5 = 4 Rest 0 4 / 5 = 0 Rest 4 \(12599_{10} = 44034_5\) Für Basis b=12 (Duodezimalsystem, verwendet Großbuchstaben 'A' und 'B' für 10 bzw. 11): 12599 / 12 = 1049 Rest 11 (Für 11 verwenden wir 'B') 1049 / 12 = 87 Rest 5 87 / 12 = 7 Rest 3 7 / 12 = 0 Rest 7 \(12599_{10} = 735B_{12}\) Ich beende hier, aber Sie können dieselben Schritte für die anderen Basen verwenden, um die Umrechnungen durchzuführen.
Mathematical Computation with Place Value Materials
Aufgabe: Lösen Sie die Aufgabe mit Zehnersystemmaterial und mit Rechengeld (348+276). Notieren Sie die Aufgabe Ionisch in der Stellenwerttabelle. Welche Vorteile und Nachteile haben Zehnersystemmaterial und Rechengeld? Lösung: Um die Summe von 348 und 276 mit Hilfe einer Stellenwerttabelle zu finden, schreiben wir jede Zahl in die entsprechende Spalte für Hunderter (H), Zehner (Z) und Einer (E). Stellenwerttabelle: H | Z | E 3 | 4 | 8 2 | 7 | 6 Als nächstes addieren wir die Zahlen spaltenweise, beginnend mit den Einern: \( \text{Einer}\: \text{Spalte}: 8 + 6 = 14,\) wobei wir 4 als Einer und 1 als Zehner übertragen. Dann die Zehnerspalte: \( \text{Zehner}\: \text{Spalte}: 4 + 7 = 11,\) plus der übertragene Zehner, gibt uns \(11 + 1 = 12.\) Wir schreiben 2 in die Zehnerstelle und übertragen 1 in die Hunderterstelle. Zuletzt die Hunderter: \( \text{Hunderter}\: \text{Spalte}: 3 + 2 = 5,\) plus der übertragene Hunderter, gibt uns \(5 + 1 = 6.\) Das Ergebnis ist: H | Z | E 6 | 2 | 4 Daher ist \(348 + 276 = 624.\) Was die Vorteile und Nachteile von Zehnersystemmaterial und Rechengeld betrifft, so ist einer der größten Vorteile, dass sie eine konkrete und visuelle Repräsentation der Werte und des Rechenprozesses bieten, was besonders beim Verständnis von Mathematik im jungen Alter hilfreich sein kann. Ein Nachteil könnte sein, dass solche Materialien zeitaufwendig in der Handhabung sein können und möglicherweise nicht die Geschwindigkeit und Flexibilität des mentalen Rechnens oder des Rechnens auf Papier bieten.
Comparing Decimal System with Br-System in Mathematics
Das Bild zeigt eine Mathematikaufgabe, die Schülern hilft, das Rechnen im Dezimalsystem (also dem uns geläufigen System) zu verstehen und es mit einem fiktiven "Br-System" zu vergleichen. Die Aufgaben (1) bis (4) betreffen das Dezimalsystem und die dazugehörigen Lösungsschritte, während die Aufgaben (5) bis (8) dasselbe im Br-System zeigen sollen. Hier ist die Lösung der Dezimalsystem-Aufgaben: (1) Addition: \( 3428 + 7875 \) Um diese Addition durchzuführen, addieren wir die Zahlen beginnend mit der rechtesten Stelle (Einer): - 8 + 5 = 13 (3 notieren und 1 übertragen) - 2 + 7 = 9 plus die übertragene 1 = 10 (0 notieren und 1 übertragen) - 4 + 8 = 12 plus die übertragene 1 = 13 (3 notieren und 1 übertragen) - 3 + 7 = 10 plus die übertragene 1 = 11 (1 notieren und 1 übertragen für die nächste Stelle) Da es keine weitere Stelle gibt, auf die wir übertragen könnten, notieren wir die übertragene 1 direkt vorne: Das Ergebnis lautet also 11303. (2) Subtraktion: \( 9208 - 2946 \) Wir subtrahieren beginnend bei den Einern: - 8 - 6 = 2 - 0 - 4 = (da 0 kleiner ist als 4, "leihen" wir uns eine 10 aus der nächsten höheren Stelle, also wird aus der 0 eine 10 und aus der nächsten Stelle eine 1 statt 2) 10 - 4 = 6 - 1(ursprünglich 2) - 9 = (wir müssen uns wieder 10 ausleihen, also wird die 1 eine 11 und die nächste Stelle eine 8 statt 9) 11 - 9 = 2 - 8 - 2 = 6 Das Ergebnis ist 6262. (3) Multiplikation: \( 2248 * 27 \) Um eine Multiplikation durchzuführen, multiplizieren wir jede Stelle der zweiten Zahl mit jeder Stelle der ersten Zahl und addieren dann passend: - 8 * 7 = 56 (6 notieren und 5 übertragen) - 4 * 7 = 28 plus übertragene 5 = 33 (3 notieren und 3 übertragen) - 2 * 7 = 14 plus übertragene 3 = 17 (7 notieren und 1 übertragen) - 2 * 7 = 14 plus übertragene 1 = 15 (5 notieren und 1 übertragen) Ergebnis der ersten Zeile: 15736 Jetzt multiplizieren wir die 2 (welche eigentlich 20 repräsentiert, da sie in der Zehnerstelle steht) mit jeder Stelle der ersten Zahl; wir fügen eine 0 hinzu, da wir jetzt in der Zehnerstelle sind: - 8 * 2 = 16 (6 notieren und 1 übertragen) - 4 * 2 = 8 plus übertragene 1 = 9 - 2 * 2 = 4 - 2 * 2 = 4 Ergebnis der zweiten Zeile: 44960 (die hinzugefügte 0 für die Zehnerstelle nicht vergessen) Addieren der beiden Zeilen: 15736 +44960 -------- 60676 (Endresultat der Multiplikation) (4) Division: \( 25636 \div 17 \) Wir teilen die 25636 durch 17, indem wir von links nach rechts gehen und bei jeder Stelle prüfen, wie oft die 17 in den aktuellen Wert passt: - 17 passt 1 Mal in 25 (Rest 8) - 17 passt 5 Mal in 86 (Rest 1) - 17 passt 0 Mal in 13 (wir müssen eine 0 notieren, da keine vollständige 17 in 13 passt) - 17 passt 7 Mal in 136 Also ist das Ergebnis der Division 1507 mit einem Rest von 5 (136 - (17 * 7) = 5). Zu den Fragen unterhalb der Tabelle: "(b) Schreiben Sie einmal alle Ihre Rechenschritte auf." Die Rechenschritte habe ich oben detailliert für jede Rechenoperation beschrieben. "Woher kommen die Ergebnisse aus a) und b) numerisch?" Die Ergebnisse aus a) und b) kommen von den schrittweisen Berechnungen, die wir mit standardmäßigen Dezimalrechenregeln durchgeführt haben. "Wann spreche ich über das Bündeln, wenn das Einerfeld eine Rolle spielt?" Das Bündeln wird in der Addition und Subtraktion angesprochen, insbesondere wenn Zahlen von einer Stelle zur nächsten übertragen (bei der Addition) oder von einer Stelle ausgeliehen (bei der Subtraktion) werden müssen. Das passiert immer dann, wenn das Ergebnis einer Rechenoperation die Kapazität einer Stelle (also 9 im Dezimalsystem) übersteigt. Die Aufgaben (5) bis (8) im Br-System werden nicht im Bild dargestellt und sind deshalb nicht lösbar. Das Br-System scheint ein fiktives Rechensystem zu sein, das dazu dient, das Verständnis von Rechenregeln durch Vergleich mit dem bekannten Dezimalsystem zu vertiefen.
Arithmetic Operations Practice: Decimal and Octal Systems
Auf dem Bild wird eine Übungsaufgabe aus einem Mathematikbuch oder Arbeitsblatt gezeigt, bei der es darum geht, arithmetische Operationen im Dezimalsystem und im 8er-System (Oktalsystem) zu üben. Das 8er-System ist ein Stellenwertsystem mit der Basis 8, was bedeutet, dass jede Stelle einen Wert im Bereich von 0 bis 7 annehmen kann (im Gegensatz zum Dezimalsystem, das die Basis 10 hat und bei dem jede Stelle einen Wert von 0 bis 9 annehmen kann). Ich werde dir den ersten Teil der Aufgabe erklären und lösen (Addition): 1. Addition im Dezimalsystem: 3428 + 7875 Zuerst addiert man die Zahlen wie üblich im Dezimalsystem: 8 + 5 = 13, notiere 3 und übertrage 1, 2 + 7 + 1 (übertragen) = 10, notiere 0 und übertrage 1, 4 + 8 + 1 (übertragen) = 13, notiere 3 und übertrage 1, 3 + 7 + 1 (übertragen) = 11, notiere 1 und übertrage 1. Das Ergebnis ist 11303. 2. Addition im 8er-System: (4772)_8 + (327)_8 Die Zahlen werden nach den gleichen Regeln wie im Dezimalsystem addiert, nur dass man bei einer Summe von 8 oder mehr eine 1 in die nächsthöhere Stelle überträgt. 2 + 7 = 11 (im 8er-System), notiere 3 und übertrage 1 (weil 11 im 8er-System gleich (13)_8 ist), 7 + 2 + 1 (übertragen) = 10 (im 8er-System), notiere 2 und übertrage 1 (weil 10 im 8er-System gleich (12)_8 ist), 7 + 3 + 1 (übertragen) = 11 (im 8er-System), notiere 3 und übertrage 1, 4 + 1 (übertragen) = 5. Das Ergebnis ist (5323)_8. Wenn du noch Hilfe bei den anderen Operationen (Subtraktion, Multiplikation, Division) benötigst, lass es mich wissen!
Number System Conversion Using Horner's Method
Die Aufgabe besteht darin, Zahlen in verschiedene Zahlensysteme umzuwandeln. Beim Horner-Verfahren, auch bekannt als Horner-Schema, wird eine Zahl aus einem nicht-dezimalen Zahlensystem in das Dezimalsystem umgerechnet, indem man iterativ die Ziffern der Zahl mit ihrem Stellenwert multipliziert und die Ergebnisse addiert. a) Um die Zahl \( (6543)_7 \) in das Dezimalsystem umzurechnen, verwenden wir das Horner-Schema: Starte mit der höchsten Stelle: \( 6 \cdot 7^3 + 5 \cdot 7^2 + 4 \cdot 7^1 + 3 \cdot 7^0 \) \( = 6 \cdot 343 + 5 \cdot 49 + 4 \cdot 7 + 3 \cdot 1 \) \( = 2058 + 245 + 28 + 3 \) \( = 2334 \) Die Zahl \( (6543)_7 \) entspricht also \( 2334 \) im Dezimalsystem. b) Für die binäre Zahl \( (001001)_2 \) sieht das Horner-Schema so aus: \( 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 \) \( = 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 \) \( = 9 \) Die Zahl \( (001001)_2 \) entspricht also \( 9 \) im Dezimalsystem. c) Die Zahl \( (555)_6 \) wird wie folgt umgerechnet: \( 5 \cdot 6^2 + 5 \cdot 6^1 + 5 \cdot 6^0 \) \( = 5 \cdot 36 + 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1 \) \( = 180 + 30 + 5 \) \( = 215 \) Die Zahl \( (555)_6 \) entspricht also \( 215 \) im Dezimalsystem. d) Für Hexadezimalzahlen, bei denen Buchstaben als Ziffern für Werte größer als 9 stehen (z.B. A entspricht 10, B entspricht 11 usw.), wird die Zahl \( (9A1BC)_16 \) so umgewandelt: \( 9 \cdot 16^4 + 10 \cdot 16^3 + 1 \cdot 16^2 + 11 \cdot 16^1 + 12 \cdot 16^0 \) \( = 9 \cdot 65536 + 10 \cdot 4096 + 1 \cdot 256 + 11 \cdot 16 + 12 \cdot 1 \) \( = 589824 + 40960 + 256 + 176 + 12 \) \( = 630228 \) Die Zahl \( (9A1BC)_16 \) entspricht also \( 630228 \) im Dezimalsystem.
Number Conversion from Different Number Systems to Decimal System
Die Aufgabe besteht darin, verschiedene Zahlen aus anderen Zahlensystemen in das Dezimalsystem zu übersetzen. Wir verwenden dafür das Positionssystem (Hornerschema), auch bekannt als Horners Methode. a) \((6543)_7\) im Dezimalsystem: \[6 \cdot 7^3 + 5 \cdot 7^2 + 4 \cdot 7^1 + 3 \cdot 7^0\] \[= 6 \cdot 343 + 5 \cdot 49 + 4 \cdot 7 + 3 \cdot 1\] \[= 2058 + 245 + 28 + 3\] \[= 2334\] b) \((001001)_2\) im Dezimalsystem: \[0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0\] \[= 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1\] \[= 9\] c) \((555)_6\) im Dezimalsystem: \[5 \cdot 6^2 + 5 \cdot 6^1 + 5 \cdot 6^0\] \[= 5 \cdot 36 + 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1\] \[= 180 + 30 + 5\] \[= 215\] d) \((A1B2C)_{16}\) im Dezimalsystem: Da A, B und C Hexadezimalziffern sind, repräsentieren sie die Werte 10, 11 und 12 im Dezimalsystem. \[10 \cdot 16^4 + 1 \cdot 16^3 + 11 \cdot 16^2 + 2 \cdot 16^1 + 12 \cdot 16^0\] \[= 10 \cdot 65536 + 1 \cdot 4096 + 11 \cdot 256 + 2 \cdot 16 + 12\] \[= 655360 + 4096 + 2816 + 32 + 12\] \[= 663316\] Also, die Dezimaläquivalente der gegebenen Zahlen sind: a) \(2334\), b) \(9\), c) \(215\), d) \(663316\).
Number Conversion in Base-4 System
Diese Aufgaben beziehen sich auf ein Stellenwertsystem, das dem von Schlämpfen basiert, wo jedes Kind wohl nur 4 Finger je Hand hat. Die Schlämpfe verwenden also ein 4er-System für ihre Zahlen. a. Die Lösung der ersten Teilaufgabe im 4er-System (Basis 4) ist wie folgt: - \( (7)_4 + (6)_4 = (13)_4 = (1 \cdot 4^1 + 3 \cdot 4^0)_{10} = (7)_{10} \) - \( (10)_4 + (10)_4 = (20)_4 = (2 \cdot 4^1 + 0 \cdot 4^0)_{10} = (8)_{10} \) - \( (7)_4 \cdot (7)_4 = (49)_4 = (1 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4^1 + 1 \cdot 4^0)_{10} = (33)_{10} \) - \( (7)_4 - (5)_4 = (2)_4 = (2 \cdot 4^0)_{10} = (2)_{10} \) b. Für die zweite Teilaufgabe erfordert die Umwandlung von Zahlen im 4er-System ins Dezimalsystem das Folgende: - \( (352)_4 = (3 \cdot 4^2 + 5 \cdot 4^1 + 2 \cdot 4^0)_{10} = (48 + 20 + 2)_{10} = (70)_{10} \) - \( (143)_4 = (1 \cdot 4^2 + 4 \cdot 4^1 + 3 \cdot 4^0)_{10} = (16 + 16 + 3)_{10} = (35)_{10} \) - Somit ergibt sich für die Subtraktion im Dezimalsystem: \( (70)_{10} - (35)_{10} = (35)_{10} \) - Zurückgerechnet ins 4er-System ist dies \( (203)_4 \), da \( (35)_{10} = (2 \cdot 4^2 + 0 \cdot 4^1 + 3 \cdot 4^0)_4 \). c. Schauen wir uns nun einmal die Rechenwege zurück an: - Für die Umrechnung der Ergebnisse ins 4er-System können wir die Division durch 4 verwenden und den Rest jeweils als nächste Ziffer des Ergebnisses interpretieren. - Das Prinzip des Bündelns im 4er-System ist ähnlich wie das im Dezimalsystem, mit dem Unterschied, dass nach jeder vierten Einheit (anstatt nach zehn Einheiten) gebündelt wird. Dies spielt bei der Umwandlung eine Rolle, da jede Stelle im 4er-System für eine Potenz von 4 steht (genauso wie im Dezimalsystem jede Stelle für eine Potenz von 10 steht). - Das Endbündeln spielt eine Rolle, wenn wir die höchste Stelle innerhalb der Zahl erreichen, bei der sich keine weiteren Bündel mehr bilden lassen, da keine höhere Potenz von 4 (im 4er-System) bzw. von 10 (im Dezimalsystem) vorhanden ist.
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