Question - Number Conversion in Base-4 System
Solution:
Diese Aufgaben beziehen sich auf ein Stellenwertsystem, das dem von Schlämpfen basiert, wo jedes Kind wohl nur 4 Finger je Hand hat. Die Schlämpfe verwenden also ein 4er-System für ihre Zahlen.a. Die Lösung der ersten Teilaufgabe im 4er-System (Basis 4) ist wie folgt: - $$ (7)_4 + (6)_4 = (13)_4 = (1 \cdot 4^1 + 3 \cdot 4^0)_{10} = (7)_{10} $$ - $$ (10)_4 + (10)_4 = (20)_4 = (2 \cdot 4^1 + 0 \cdot 4^0)_{10} = (8)_{10} $$ - $$ (7)_4 \cdot (7)_4 = (49)_4 = (1 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4^1 + 1 \cdot 4^0)_{10} = (33)_{10} $$ - $$ (7)_4 - (5)_4 = (2)_4 = (2 \cdot 4^0)_{10} = (2)_{10} $$b. Für die zweite Teilaufgabe erfordert die Umwandlung von Zahlen im 4er-System ins Dezimalsystem das Folgende: - $$ (352)_4 = (3 \cdot 4^2 + 5 \cdot 4^1 + 2 \cdot 4^0)_{10} = (48 + 20 + 2)_{10} = (70)_{10} $$ - $$ (143)_4 = (1 \cdot 4^2 + 4 \cdot 4^1 + 3 \cdot 4^0)_{10} = (16 + 16 + 3)_{10} = (35)_{10} $$ - Somit ergibt sich für die Subtraktion im Dezimalsystem: $$ (70)_{10} - (35)_{10} = (35)_{10} $$ - Zurückgerechnet ins 4er-System ist dies $$ (203)_4 $$, da $$ (35)_{10} = (2 \cdot 4^2 + 0 \cdot 4^1 + 3 \cdot 4^0)_4 $$.c. Schauen wir uns nun einmal die Rechenwege zurück an: - Für die Umrechnung der Ergebnisse ins 4er-System können wir die Division durch 4 verwenden und den Rest jeweils als nächste Ziffer des Ergebnisses interpretieren. - Das Prinzip des Bündelns im 4er-System ist ähnlich wie das im Dezimalsystem, mit dem Unterschied, dass nach jeder vierten Einheit (anstatt nach zehn Einheiten) gebündelt wird. Dies spielt bei der Umwandlung eine Rolle, da jede Stelle im 4er-System für eine Potenz von 4 steht (genauso wie im Dezimalsystem jede Stelle für eine Potenz von 10 steht). - Das Endbündeln spielt eine Rolle, wenn wir die höchste Stelle innerhalb der Zahl erreichen, bei der sich keine weiteren Bündel mehr bilden lassen, da keine höhere Potenz von 4 (im 4er-System) bzw. von 10 (im Dezimalsystem) vorhanden ist.
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