Question - Number System Conversion Using Horner's Method
Solution:
Die Aufgabe besteht darin, Zahlen in verschiedene Zahlensysteme umzuwandeln. Beim Horner-Verfahren, auch bekannt als Horner-Schema, wird eine Zahl aus einem nicht-dezimalen Zahlensystem in das Dezimalsystem umgerechnet, indem man iterativ die Ziffern der Zahl mit ihrem Stellenwert multipliziert und die Ergebnisse addiert.a) Um die Zahl $$ (6543)_7 $$ in das Dezimalsystem umzurechnen, verwenden wir das Horner-Schema:Starte mit der höchsten Stelle:$$ 6 \cdot 7^3 + 5 \cdot 7^2 + 4 \cdot 7^1 + 3 \cdot 7^0 $$$$ = 6 \cdot 343 + 5 \cdot 49 + 4 \cdot 7 + 3 \cdot 1 $$$$ = 2058 + 245 + 28 + 3 $$$$ = 2334 $$Die Zahl $$ (6543)_7 $$ entspricht also $$ 2334 $$ im Dezimalsystem.b) Für die binäre Zahl $$ (001001)_2 $$ sieht das Horner-Schema so aus:$$ 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 $$$$ = 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 $$$$ = 9 $$Die Zahl $$ (001001)_2 $$ entspricht also $$ 9 $$ im Dezimalsystem.c) Die Zahl $$ (555)_6 $$ wird wie folgt umgerechnet:$$ 5 \cdot 6^2 + 5 \cdot 6^1 + 5 \cdot 6^0 $$$$ = 5 \cdot 36 + 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1 $$$$ = 180 + 30 + 5 $$$$ = 215 $$Die Zahl $$ (555)_6 $$ entspricht also $$ 215 $$ im Dezimalsystem.d) Für Hexadezimalzahlen, bei denen Buchstaben als Ziffern für Werte größer als 9 stehen (z.B. A entspricht 10, B entspricht 11 usw.), wird die Zahl $$ (9A1BC)_16 $$ so umgewandelt:$$ 9 \cdot 16^4 + 10 \cdot 16^3 + 1 \cdot 16^2 + 11 \cdot 16^1 + 12 \cdot 16^0 $$$$ = 9 \cdot 65536 + 10 \cdot 4096 + 1 \cdot 256 + 11 \cdot 16 + 12 \cdot 1 $$$$ = 589824 + 40960 + 256 + 176 + 12 $$$$ = 630228 $$Die Zahl $$ (9A1BC)_16 $$ entspricht also $$ 630228 $$ im Dezimalsystem.
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