Example Question - base conversion
Here are examples of questions we've helped users solve.
Number Conversion Between Different Bases
Die Aufgabe verlangt, dass wir die gegebenen Zahlen aus ihren ursprünglichen Stellenwertsystemen in die jeweils angegebenen Stellenwertsysteme umwandeln. Hier sind die Schritte für jede Umwandlung: a) \( (255)_8 \) nach \( (_)_{10} \) - Das ist eine Umwandlung von einem oktalen Zahlensystem (Basis 8) in ein dezimales Zahlensystem (Basis 10). - Wir zerlegen die Zahl nach ihren Stellenwerten: \( 2 \times 8^2 + 5 \times 8^1 + 5 \times 8^0 \) - Das ergibt: \( 2 \times 64 + 5 \times 8 + 5 \times 1 \) - Also: \( 128 + 40 + 5 = 173 \) - Antwort: \( (255)_8 = (173)_{10} \) b) \( (3333)_7 \) nach \( (_)_{11} \) - Zuerst konvertieren wir die Zahl in das dezimale System: - \( 3 \times 7^3 + 3 \times 7^2 + 3 \times 7^1 + 3 \times 7^0 \) - Das ergibt: \( 3 \times 343 + 3 \times 49 + 3 \times 7 + 3 \times 1 \) - Also: \( 1029 + 147 + 21 + 3 = 1200 \) - Jetzt wandeln wir die Dezimalzahl in das System mit der Basis 11 um: - \( 1200 \div 11 = 109 \) Rest 1 - \( 109 \div 11 = 9 \) Rest 10, welches im System mit der Basis 11 durch das Zeichen "A" ersetzt wird. - \( 9 \div 11 = 0 \) Rest 9 - Wir sammeln die Reste in umgekehrter Reihenfolge: \( 9A1 \) - Antwort: \( (3333)_7 = (9A1)_{11} \) c) \( (ABCD)_{16} \) nach \( (_)_{25} \) - Hier wandeln wir eine Zahl vom hexadezimalen System (Basis 16) in das System mit der Basis 25 um. - Zuerst wandeln wir die Zahl in das dezimale System um (A=10, B=11, C=12, D=13): - \( A \times 16^3 + B \times 16^2 + C \times 16^1 + D \times 16^0 \) - Das ergibt: \( 10 \times 4096 + 11 \times 256 + 12 \times 16 + 13 \times 1 \) - Also: \( 40960 + 2816 + 192 + 13 = 43981 \) - Jetzt wandeln wir die Dezimalzahl in das System mit der Basis 25 um: - \( 43981 \div 25 = 1759 \) Rest 6 - \( 1759 \div 25 = 70 \) Rest 9 - \( 70 \div 25 = 2 \) Rest 20, welches wir als "K" darstellen können, da es das zwanzigste Zeichen im Alphabet ist (wenn man bei 0 beginnt zu zählen). - \( 2 \div 25 = 0 \) Rest 2 - Wir sammeln die Reste in umgekehrter Reihenfolge: \( 2K96 \) - Antwort: \( (ABCD)_{16} = (2K96)_{25} \) Beachte bitte, dass beim Umwandeln in bzw. aus Basen, die größer als 10 sind, Buchstaben verwendet werden, um Werte größer als 9 darzustellen (z.B. im hexadezimalen System, wo A = 10 bis F = 15).
Number Conversion to Different Bases
Die Aufgabenstellung lautet, die Zahl 12599 aus dem Dezimalsystem in andere Stellenwertsysteme umzurechnen. Wir verwenden die Modulo- oder Restschreibweise. Ich werde die Umrechnung für alle angegebenen Basen durchführen. Für Basis b=2 (Binärsystem): Wir teilen 12599 durch 2 und schreiben den Rest auf. Wir wiederholen diesen Prozess mit dem Ergebnis der Division, bis wir 0 erreichen. 12599 / 2 = 6299 Rest 1 6299 / 2 = 3149 Rest 1 3149 / 2 = 1574 Rest 1 1574 / 2 = 787 Rest 0 787 / 2 = 393 Rest 1 393 / 2 = 196 Rest 1 196 / 2 = 98 Rest 0 98 / 2 = 49 Rest 0 49 / 2 = 24 Rest 1 24 / 2 = 12 Rest 0 12 / 2 = 6 Rest 0 6 / 2 = 3 Rest 0 3 / 2 = 1 Rest 1 1 / 2 = 0 Rest 1 Nun schreiben wir die Reste rückwärts auf, um die Binärdarstellung zu erhalten: \(12599_{10} = 11000100001111_2\) Für Basis b=5: 12599 / 5 = 2519 Rest 4 2519 / 5 = 503 Rest 4 503 / 5 = 100 Rest 3 100 / 5 = 20 Rest 0 20 / 5 = 4 Rest 0 4 / 5 = 0 Rest 4 \(12599_{10} = 44034_5\) Für Basis b=12 (Duodezimalsystem, verwendet Großbuchstaben 'A' und 'B' für 10 bzw. 11): 12599 / 12 = 1049 Rest 11 (Für 11 verwenden wir 'B') 1049 / 12 = 87 Rest 5 87 / 12 = 7 Rest 3 7 / 12 = 0 Rest 7 \(12599_{10} = 735B_{12}\) Ich beende hier, aber Sie können dieselben Schritte für die anderen Basen verwenden, um die Umrechnungen durchzuführen.
Understanding Mathematics: Distributive Law and Conversion of Bases
Um die Aufgabe zu lösen, die im Bild angezeigt wird, müssen wir zuerst verstehen, worum es geht. Die Frage bezieht sich auf mathematische Vorgänge und bittet um eine Überprüfung der Rechenwege. Da ich jedoch nur einen Teil des Problems sehe, werde ich mich auf den sichtbaren Teil iv. konzentrieren und die mögliche Anwendung des Distributivgesetzes (die „Idee des Bündelns“) und das Gegenteil davon, das „Entbündeln“, beschreiben. Das Distributivgesetz besagt allgemein, dass a(b + c) = ab + ac. Dieses Gesetz kann genutzt werden, um Multiplikationen zu vereinfachen, besonders wenn mit großen Zahlen gerechnet wird. Das „Entbündeln“ oder Ausklammern ist der umgekehrte Prozess, bei dem ein gemeinsamer Faktor aus einer Summe herausgezogen wird. Jetzt betrachten wir den Ausdruck (1714)₄ · (3)₈ aus dem Bild: 1. Um die Zahl aus der Basis 4 in die Basis 10 umzuwandeln, zerlegen wir 1714₄ in ihre Stellen und multiplizieren jede mit der entsprechenden Potenz von 4: 1714₄ = 1·4^3 + 7·4^2 + 1·4^1 + 4·4^0 = 64 + 112 + 4 + 4 = 184 2. Wir wandeln die Zahl aus der Basis 8 in die Basis 10 um: (3)₈ = 3·8^0 = 3 3. Dann multiplizieren wir unsere beiden Basis-10-Zahlen: 184 · 3 = 552 Die Idee des "Bündelns" und "Entbündelns" spielt eine Rolle, um Rechnungen mit Zahlen in verschiedenen Basen zu vereinfachen, indem man sie zuerst in eine allgemeinere Form (die Basis 10) konvertiert, was die Multiplikation erleichtert. Ohne den gesamten Rechenweg zu sehen und ohne den spezifischen Kontext, in dem die Frage gestellt wurde, ist es schwierig, das konkrete "Nutzen" dieser Ergebnisse zu beschreiben. Im Allgemeinen könnten die Ergebnisse jedoch für eine Vielzahl von Anwendungen nützlich sein, einschließlich des Vergleichs von Zahlen in verschiedenen Basen oder der Durchführung von Berechnungen in der Informatik, wo verschiedene Basen häufig verwendet werden.
Number System Conversions
Es scheint, als müssten wir einige Zahlensystemumwandlungen durchführen. Hier sind die Schritte, um jede Zahl in das angegebene Zielbasis-System umzuwandeln: a. Die Zahl (255)_7 soll in das Binärzahlensystem umgewandelt werden (Basis 2). Schritt 1: Zuerst müssen wir (255)_7 in das Dezimalsystem umwandeln. Die Basismethode zur Umwandlung von einer Basis b in das Dezimalsystem lautet: \[ n_i \times b^i \] wobei \( n_i \) den Ziffernwert und \( i \) die Position der Ziffer bezeichnet (beginnend von rechts mit 0). Für (255)_7: \[ 2 \times 7^2 + 5 \times 7^1 + 5 \times 7^0 \] \[ = 2 \times 49 + 5 \times 7 + 5 \times 1 \] \[ = 98 + 35 + 5 \] \[ = 138 \] Also ist (255)_7 als Dezimalzahl 138. Schritt 2: Wir wandeln die Dezimalzahl 138 in eine Binärzahl um: 138 / 2 = 69 Rest 0 69 / 2 = 34 Rest 1 34 / 2 = 17 Rest 0 17 / 2 = 8 Rest 1 8 / 2 = 4 Rest 0 4 / 2 = 2 Rest 0 2 / 2 = 1 Rest 0 1 / 2 = 0 Rest 1 Wenn man die Reste von unten nach oben liest, erhält man (10001010)_2. b. Die Zahl (3333)_9 soll in das Duodezimalsystem umgewandelt werden (Basis 12). Schritt 1: Umwandlung von (3333)_9 in das Dezimalsystem: \[ 3 \times 9^3 + 3 \times 9^2 + 3 \times 9^1 + 3 \times 9^0 \] \[ = 3 \times 729 + 3 \times 81 + 3 \times 9 + 3 \times 1 \] \[ = 2187 + 243 + 27 + 3 \] \[ = 2460 \] Also ist (3333)_9 als Dezimalzahl 2460. Schritt 2: Nun wandeln wir die Dezimalzahl 2460 in das Duodezimalsystem um (Basis 12): 2460 / 12 = 205 Rest 0 205 / 12 = 17 Rest 1 17 / 12 = 1 Rest 5 1 / 12 = 0 Rest 1 Das Ergebnis, wenn man die Reste von unten nach oben liest, ist (1510)_12. c. Die Zahl (ABC)_16 soll in das Oktalsystem umgewandelt werden (Basis 8). Schritt 1: Umwandlung von (ABC)_16 in das Dezimalsystem: Im Hexadezimalsystem entspricht "A" der 10, "B" der 11 und "C" der 12 im Dezimalsystem. \[ A \times 16^2 + B \times 16^1 + C \times 16^0 \] \[ = 10 \times 256 + 11 \times 16 + 12 \times 1 \] \[ = 2560 + 176 + 12 \] \[ = 2748 \] Also ist (ABC)_16 als Dezimalzahl 2748. Schritt 2: Nun wandeln wir die Dezimalzahl 2748 in eine Oktalzahl um: 2748 / 8 = 343 Rest 4 343 / 8 = 42 Rest 7 42 / 8 = 5 Rest 2 5 / 8 = 0 Rest 5 Man liest die Reste von unten nach oben, um (5274)_8 zu erhalten. Zusammengefasst lauten die umgewandelten Zahlen wie folgt: a. (10001010)_2 b. (1510)_12 c. (5274)_8
Converting Decimal Numbers to Other Bases
Die Aufgabe lautet, die Dezimalzahl 12599 in andere Zahlensysteme mit verschiedenen Basen umzuwandeln. Wir sollen die Restsatzbeweise verwenden. Ich werde Ihnen zeigen, wie man diese Zahl in das Zahlensystem mit der Basis 4 umwandelt, als Beispiel: Basis 4: Um 12599 in das Basis-4-System umzuwandeln, teilen wir die Zahl durch 4 und notieren den Rest. Dann teilen wir das Ergebnis immer wieder durch 4, bis wir 0 erreichen. 12599 ÷ 4 = 3149 Rest 3 3149 ÷ 4 = 787 Rest 1 787 ÷ 4 = 196 Rest 3 196 ÷ 4 = 49 Rest 0 49 ÷ 4 = 12 Rest 1 12 ÷ 4 = 3 Rest 0 3 ÷ 4 = 0 Rest 3 Man beginnt unten bei der letzten Division und liest alle Reste nach oben hin ab, um die Zahl in der neuen Basis zu schreiben. Folglich ist die Darstellung von 12599 im Basis-4-System: \(3(4^6) + 0(4^5) + 1(4^4) + 1(4^3) + 0(4^2) + 3(4^1) + 3(4^0) \) oder einfacher als: \( 3011303_4 \) Das bedeutet, dass die Zahl 12599 im Dezimalsystem der Zahl 3011303 im Quartärsystem (Basis 4) entspricht. Sie können diesen Vorgang für jede der anderen angegebenen Basen wiederholen, indem Sie 12599 jeweils durch die gewünschte Basis teilen. Beachten Sie, dass für Basen größer als 10 Buchstaben als Ziffern für die Zahlen größer als 9 verwendet werden, ähnlich wie im Hexadezimalsystem.
Finding the Base of a Number
To solve for r when 175_r = 125, we must assume that r stands for the base of the number 175, and we are trying to find a base such that 175 in that base equals 125 in base 10. Firstly, let's express 125 in base 10 as a sum of powers of the base r: 125 in base 10 can be broken down as: \(1 \times r^2 + 7 \times r^1 + 5 \times r^0\) Now, we need to solve for r: \(1r^2 + 7r + 5 = 125\) Moving all the terms to one side we get: \(r^2 + 7r + 5 - 125 = 0\) Simplify the equation: \(r^2 + 7r - 120 = 0\) Now factor the quadratic equation: \((r - 8)(r + 15) = 0\) This gives us two possible values for r: r = 8 or r = -15 Since the base of a number cannot be negative, we disregard r = -15. Therefore, the value of r is 8.
Finding Base Value for Number Equality
The question asks you to find the value of \( n \) such that the number \( 14 \) in base \( n \) is equal to the number \( 22 \) in base five. To find the value of \( n \), we can convert the given number \( 22 \) in base five to base ten and then equate it to the number \( 14 \) in base \( n \), also represented in base ten. To convert \( (22)_5 \) to base ten, use the following method: - \( (22)_5 = 2 \cdot 5^1 + 2 \cdot 5^0 \) - \( (22)_5 = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 1 \) - \( (22)_5 = 10 + 2 \) - \( (22)_5 = 12 \) in base ten. Now that we know \( (22)_5 \) is equal to \( 12 \) in base ten, we can set this equal to \( 14 \) in base \( n \) and also convert that to base ten. The base ten representation of \( 14 \) in base \( n \) is: - \( 1 \cdot n^1 + 4 \cdot n^0 \) - \( n + 4 \) Equating this to the base ten value we found: - \( n + 4 = 12 \) To solve for \( n \), subtract 4 from both sides: - \( n = 12 - 4 \) - \( n = 8 \) Hence, the value of \( n \) is 8.
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