Example Question - algebraic expression
Here are examples of questions we've helped users solve.
Simplification of a Rational Expression
<p>To simplify the given expression, he can factor the denominator and check if there are common factors between numerator and denominator that he can cancel out:</p> <p>The denominator is an expression that looks like the difference of squares, which can be factored as:</p> <p>\((2x-1)^2 - 3(x^2-1) = (2x-1)^2 - 3(x+1)(x-1)\)</p> <p>He should expand the squares and multiply out the terms to simplify:</p> <p>\((2x-1)^2 = (2x-1)(2x-1) = 4x^2 - 4x + 1\)</p> <p>\(3(x+1)(x-1) = 3(x^2 - 1) = 3x^2 - 3\)</p> <p>Subtracting the second expression from the first:</p> <p>\(4x^2 - 4x + 1 - (3x^2 - 3) = 4x^2 - 4x + 1 - 3x^2 + 3\)</p> <p>Simplifying:</p> <p>\(x^2 - 4x + 4\)</p> <p>He then recognizes this as a perfect square trinomial which can be factored as:</p> <p>\(x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2\)</p> <p>So the expression simplifies to:</p> <p>\(\frac{x}{(x-2)^2}\)</p> <p>He notes that there are no common factors to cancel out with the numerator, hence this is the simplified form of the given rational expression.</p>
Algebraic Expression Involving Binomial Squares
<p>Die gegebene algebraische Ausdruck ist:</p> <p>\(4 \cdot (6a+1)^2 - 3 \cdot (4a-2)^2\)</p> <p>Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, quadratieren wir zuerst beide Binome:</p> <p>\((6a+1)^2 = 36a^2 + 12a + 1\)</p> <p>\((4a-2)^2 = 16a^2 - 16a + 4\)</p> <p>Dann multiplizieren wir diese Quadrate mit den entsprechenden Koeffizienten:</p> <p>\(4 \cdot (36a^2 + 12a + 1) = 144a^2 + 48a + 4\)</p> <p>\(3 \cdot (16a^2 - 16a + 4) = 48a^2 - 48a + 12\)</p> <p>Jetzt subtrahieren wir den zweiten Ausdruck vom ersten:</p> <p>\(144a^2 + 48a + 4 - (48a^2 - 48a + 12)\)</p> <p>\(144a^2 + 48a + 4 - 48a^2 + 48a - 12\)</p> <p>Zusammenfassen der ähnlichen Terme ergibt:</p> <p>\((144a^2 - 48a^2) + (48a + 48a) + (4 - 12)\)</p> <p>\(96a^2 + 96a - 8\)</p> <p>Das ist die vereinfachte Form des gegebenen Ausdrucks.</p>
Algebraic Expression from a Word Problem
<p>Sea \(x\) el número desconocido.</p> <p>El triple del número se expresa como \(3x\).</p> <p>El triple de un número aumentado en cinco unidades se expresa como \(3x + 5\).</p>
Simplification of Algebraic Expression with Exponents
<p>\(\frac{x^7 x^{-n}}{x^5 x^{-2n}} = \frac{x^{7-n}}{x^{5-2n}}\)</p> <p>\(= x^{(7-n)-(5-2n)}\)</p> <p>\(= x^{7-n-5+2n}\)</p> <p>\(= x^{2+n}\)</p>
Algebraic Expansion of Polynomial Expressions
Để giải quyết câu hỏi, chúng ta sẽ lần lượt sử dụng phương pháp nhấn mạnh và mở rộng để rút gọn mỗi biểu thức đa thức: <p>Câu 2:</p> <p>\[(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24\]</p> <p>\[= [(x^2+3x+2)(x^2+7x+12)] - 24\]</p> <p>\[= [x^4+7x^3+12x^2+3x^3+21x^2+6x+2x^2+14x+24] - 24\]</p> <p>\[= x^4+10x^3+35x^2+20x\]</p> <p>Câu 4:</p> <p>\[x^4 + x^2 + 4x^2 + 4x -12\]</p> <p>\[= x^4 + 5x^2 + 4x - 12\]</p> <p>Câu 6:</p> <p>\[(x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a) + a^4\]</p> <p>\[= [(x^2+5ax+4a^2)(x^2+5ax+6a^2)] + a^4\]</p> <p>\[= [x^4+5ax^3+6a^2x^2+5ax^3+25a^2x^2+30a^3x+4a^2x^2+20a^3x+24a^4] + a^4\]</p> <p>\[= x^4+10ax^3+35a^2x^2+50a^3x+25a^4\]</p> <p>Câu 8:</p> <p>\[(x^4 + x^2)^2 + 3(x^2 + x) + 2\]</p> <p>\[= x^8 + 2x^6 + x^4 + 3x^2 + 3x + 2\]</p> <p>Câu 10:</p> <p>\[(x^4 + 2x^2)^2 + 9x^2 + 18x + 20\]</p> <p>\[= x^8 + 4x^6 + 4x^4 + 9x^2 + 18x + 20\]</p> <p>Câu 12:</p> <p>\[(x^2 + 2)(x^4 + 4)(x^6 + 6)(x^8 + 8) + 16\]</p> <p>\[= (x^12 + 2x^10 + 4x^8 + 8x^6 + 6x^4 + 12x^2 + 8) + 16\]</p> <p>\[= x^12 + 2x^10 + 4x^8 + 8x^6 + 6x^4 + 12x^2 + 24\]</p>
Finding the Inverse of a Quadratic Function
<p>Sea \( g(x) = x^2 - 1 \) la función dada, y queremos encontrar \( g^{-1}(x) \).</p> <p>Para encontrar la función inversa, primero reemplazamos \( g(x) \) por \( y \):</p> <p>\( y = x^2 - 1 \)</p> <p>Luego, resolvemos para \( x \) en términos de \( y \):</p> <p>\( y + 1 = x^2 \)</p> <p>\( x = \sqrt{y + 1} \), pero dado que el dominio está restringido a los números reales positivos, asumimos que \( x \) también es positivo.</p> <p>Ahora intercambiamos \( x \) e \( y \) para obtener la función inversa:</p> <p>\( y = \sqrt{x + 1} \)</p> <p>Por lo tanto, la expresión algebraica de \( g^{-1}(x) \) es \( \sqrt{x + 1} \).</p>
Solving for Unknown Variable in an Equation
9 = 3 + x/4 9 - 3 = x/4 6 = x/4 x = 6 * 4 x = 24
Simplifying Algebraic Expression
3p(p - q) - (2p - q)² 3p² - 3pq - (4p² - 4pq + q²) 3p² - 3pq - 4p² + 4pq - q² -p² + pq - q²
Factorization of a Difference of Squares with Higher Powers
La imagen muestra una expresión algebraica con la instrucción de factorizar. La expresión es: "8x^4 - y^4". Para factorizar la expresión, podemos reconocer que esto es una diferencia de cuadrados. La forma general para factorizar una diferencia de cuadrados es \( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \). Sin embargo, puesto que tenemos cuartas potencias, aplicaremos la diferencia de cuadrados dos veces. Primero notamos que \( 8x^4 \) es \( (2x^2)^2 \) y que \( y^4 \) es \( y^2 \)^2. Por lo tanto, podemos escribir la expresión como una diferencia de cuadrados y aplicar la fórmula: \[ (2x^2)^2 - (y^2)^2 = (2x^2 + y^2)(2x^2 - y^2) \] Ahora, observamos que \( 2x^2 - y^2 \) también es una diferencia de cuadrados, que puede escribirse como \( ( \sqrt{2}x )^2 - y^2 \). Aplicamos nuevamente la fórmula de la diferencia de cuadrados: \[ 2x^2 - y^2 = ( \sqrt{2}x + y )( \sqrt{2}x - y ) \] Ahora substituimos esa factorización en nuestra expresión original: \[ (2x^2 + y^2)( \sqrt{2}x + y )( \sqrt{2}x - y ) \] Por lo tanto, la expresión \( 8x^4 - y^4 \) completamente factorizada es: \[ (2x^2 + y^2)( \sqrt{2}x + y )( \sqrt{2}x - y ) \]
Simplifying a Fraction with Sum of Cubes
La expresión matemática en la imagen es una fracción que tiene un binomio en el numerador y una suma de un término cúbico \( x^3 \) y un número 216 en el denominador. La fracción es: \[ \frac{x + 6}{x^3 + 216} \] Para resolver esta expresión, es útil notar que el denominador es una suma de dos cubos, ya que \( 216 = 6^3 \). La suma de dos cubos puede factorizarse como sigue: \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \] En este caso, \( a = x \) y \( b = 6 \), por lo tanto, podemos reescribir el denominador usando la fórmula de la suma de dos cubos: \[ x^3 + 216 = x^3 + 6^3 = (x + 6)(x^2 - 6x + 36) \] Entonces, la expresión original se convierte en: \[ \frac{x + 6}{(x + 6)(x^2 - 6x + 36)} \] Observamos que hay un término común \( x + 6 \) en ambos el numerador y el denominador, el cual podemos cancelar: \[ \frac{\cancel{x + 6}}{\cancel{(x + 6)}(x^2 - 6x + 36)} = \frac{1}{x^2 - 6x + 36} \] Así que la fracción simplificada es: \[ \frac{1}{x^2 - 6x + 36} \] Esta es la expresión simplificada de la fracción original. No podemos simplificar más sin valores adicionales de x.
Simplification of Algebraic Expression
Para resolver la expresión que se muestra en la imagen, seguimos los principios del álgebra y el orden de las operaciones. La expresión es: \[ 2(3x - 2) \div 2 \] El primer paso es multiplicar `2` por cada término dentro del paréntesis: \[ = 6x - 4 \] Ahora, dividimos todo por `2`: \[ = \frac{6x - 4}{2} \] Al dividir cada término por `2`, obtenemos: \[ = 3x - 2 \] Por lo tanto, la expresión simplificada es \( 3x - 2 \).
Solving an Algebraic Expression with Rational Fractions
Dựa vào hình ảnh bạn cung cấp, bài toán yêu cầu làm các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức A. 2. Rút gọn biểu thức A. 3. Tìm giá trị của biểu thức A khi x = -4. 4. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên. Biểu thức A là: \[ A = \frac{x}{2-x} - \frac{x-2}{x+4} + \frac{8}{x^2-4} \] Đầu tiên, ta tìm điều kiện xác định của A. Điều kiện để mẫu số không bằng 0: \[ 2-x \neq 0 \] \[ x+4 \neq 0 \] \[ x^2-4 \neq 0 \] Giải từng phương trình trên, ta có: \[ x \neq 2 \] \[ x \neq -4 \] \[ x \neq 2 \] và \[ x \neq -2 \] Vậy điều kiện xác định của A là \( x \neq 2 \) và \( x \neq -2 \) và \( x \neq -4 \). Tiếp theo ta rút gọn biểu thức A. Ta nhận thấy \( x^2-4 \) có thể phân tích được thành \[ (x-2)(x+2) \] (đây là công thức nhân đôi), vậy nên ta có: \[ A = \frac{x}{2-x} - \frac{x-2}{x+4} + \frac{8}{(x-2)(x+2)} \] Để cộng trừ các phân số, chúng ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất ở đây là \( (2-x)(x+4)(x+2) \). Khi đó: \[ A = \frac{x(x+2)(x+4)}{(2-x)(x+4)(x+2)} - \frac{(x-2)(2-x)(x+2)}{(2-x)(x+4)(x+2)} + \frac{8(x+4)}{(2-x)(x+4)(x+2)} \] Bây giờ ta rút gọn từng phân thức. Phân thức đầu tiên: \[ \frac{x(x+2)(x+4)}{(2-x)(x+4)(x+2)} = \frac{x(x+2)}{(2-x)} \] vì (x+4) ở tử và mẫu số sẽ được rút gọn. Phân thức thứ hai: \[ \frac{(x-2)(2-x)(x+2)}{(2-x)(x+4)(x+2)} = \frac{-(x-2)}{(x+4)} \] vì (2-x)(x+2) ở tử và mẫu số sẽ được rút gọn và đổi dấu vì \( (2-x) = -(x-2) \). Phân thức thứ ba: \[ \frac{8(x+4)}{(2-x)(x+4)(x+2)} = \frac{8}{(2-x)(x+2)} \] vì (x+4) ở tử và mẫu số sẽ được rút gọn. Giờ, biểu thức A trở thành: \[ A = \frac{x(x+2)}{(2-x)} - \frac{-(x-2)}{(x+4)} + \frac{8}{(2-x)(x+2)} \] Đặt \( B = 2 - x \), khi đó: \[ A = \frac{-x(x+2)}{B} + \frac{x-2}{x+4} + \frac{8}{B(x+2)} \] Vì \( B = 2 - x \) nên \( x = 2 - B \), và thay vào phân thức thứ hai: \[ A = \frac{-x(x+2)}{B} - \frac{2 - B - 2}{x+4} + \frac{8}{B(x+2)} \] \[ A = \frac{-x(x+2)}{B} + \frac{B}{x+4} + \frac{8}{B(x+2)} \] Bây giờ ta quy đồng mẫu số: \[ A = \frac{-x(x+2)(x+4) + B^2(x+2) + 8B}{B(x+2)(x+4)} \] Thay \( B = 2-x \) trở lại vào tử số: \[ A = \frac{-(x^3+6x^2+8x) + (x^2-4x+4)(x+2) + 8(2-x)}{(2-x)(x+2)(x+4)} \] Mở rộng tử số: \[ A = \frac{-x^3-6x^2-8x + x^3+2x^2-4x+4x+8x+8 -16+8x}{(2-x)(x+2)(x+4)} \] \[ A = \frac{-4x^2+24}{(2-x)(x+2)(x+4)} \] Rút gọn nhóm -4: \[ A = \frac{-4(x^2-6)}{(2-x)(x+2)(x+4)} \] Vậy biểu thức A sau khi được rút gọn là \( A = -\frac{4(x^2-6)}{(2-x)(x+2)(x+4)} \). Tiếp theo, ta tìm giá trị của A khi x = -4. Tuy nhiên, như đã tìm ra ở các bước trước, \( x \neq -4 \) là một trong những điều kiện xác định của A, nên khi x = -4 biểu thức A không xác định, và ta không cần tìm giá trị của A ở x = -4. Cuối cùng, để tìm giá trị nguyên của x sao cho A có giá trị nguyên, chúng ta cần nhìn vào biểu thức đã rút gọn của A và tìm điều kiện nguyên cho tử và mẫu số. Biểu thức này là phức tạp và trong phạm vi câu hỏi này, không thể tìm được lời giải đơn giản mà không có thông tin thêm. Do đó, chúng ta sẽ cần phải giả định và thử các giá trị cụ thể của x để tìm các giá trị nguyên thích hợp. Để thực hiện việc này, ta có thể đặt \( x^2-6 = k \) (với \( k \in \mathbb{Z} \)), và sau đó giải phương trình để tìm x dưới dạng căn bậc hai của \( k+6 \). Sau đó, xem xét các giá trị của x để phân số \( -\frac{4k}{(2-x)(x+2)(x+4)} \) có giá trị nguyên, đồng thời x không làm mẫu số bằng 0 theo điều kiện đã tìm ra từ đầu. Điều này sẽ yêu cầu phương pháp thử và sai hoặc phân tích toán học sâu hơn, tùy thuộc vào mức độ phức tạp mà người ta muốn xem xét.
Identification of Monomial One Variable
Đề bài này yêu cầu chúng ta chọn biểu thức nào sau đây là đơn thức một biến. Các lựa chọn là: A. \(5x^3\) B. \(3y + 5\) C. \(7,8\) Đơn thức một biến là biểu thức đại số chỉ chứa một biến và có thể có hệ số cùng với số mũ nguyên không âm của biến đó. Nhìn vào các lựa chọn: - Lựa chọn A, \(5x^3\), là một đơn thức vì nó chỉ chứa một biến là \(x\) với số mũ là 3 và có hệ số là 5. - Lựa chọn B, \(3y + 5\), không phải là đơn thức vì nó là tổng của hai hạng tử, \(3y\) và \(5\). - Lựa chọn C, \(7,8\), là một hằng số, nó cũng có thể được coi là đơn thức một biến với biến đó có số mũ là 0, nhưng trong bối cảnh này khi được yêu cầu tìm một đơn thức một biến tử cụ thể, hàng số không phải là lựa chọn phù hợp. Vậy phương án đúng là A, \(5x^3\), là đơn thức một biến.
Solving Polynomial Multiplication
Để giải câu hỏi trong hình ảnh, đầu tiên chúng ta cần phải xác định đúng câu hỏi bạn muốn giải. Trong hình ảnh bạn cung cấp, có một số phép tính được liệt kê từ a) đến g), nhưng chỉ có phần của câu hỏi g) được hiển thị rõ ràng. Vì vậy, tôi sẽ giải câu hỏi g) trong hình ảnh, với phép tính sau: \[ (15x^3 - 9x^4 + 18x^3 - 20x^2) \cdot (3x^2) \] Bước 1: Phân phối \(3x^2\) vào mỗi hạng tử trong ngoặc đầu tiên. \[ (15x^3 \cdot 3x^2) - (9x^4 \cdot 3x^2) + (18x^3 \cdot 3x^2) - (20x^2 \cdot 3x^2) \] Bước 2: Nhân các số hạng với nhau. \[ 45x^5 - 27x^6 + 54x^5 - 60x^4 \] Bước 3: Gộp các số hạng giống nhau (nếu có). \[ (-27x^6) + (45x^5 + 54x^5) - (60x^4) \] \[ -27x^6 + 99x^5 - 60x^4 \] Vậy kết quả cuối cùng của phép tính là: \[ -27x^6 + 99x^5 - 60x^4 \]
Solving Algebraic Expression with Squares and Roots
Baiklah, kita akan menyelesaikan soal yang terdapat pada gambar. Ekspresi yang diberikan adalah: \[ 13 \cdot AB + 2 \cdot BC - ( \sqrt{BA} - BC)^2 \] Untuk menyelesaikan ekspresi ini, pertama-tama kita akan ekspansi kuadrat pada bagian \(( \sqrt{BA} - BC)^2 \). Ini akan mengikuti identitas aljabar \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \), dengan \(a = \sqrt{BA}\) dan \(b = BC\): \[ ( \sqrt{BA} - BC)^2 = (\sqrt{BA})^2 - 2(\sqrt{BA})(BC) + (BC)^2 \] \[ = BA - 2BC\sqrt{BA} + BC^2 \] Sekarang kita akan substitusi nilai ini ke dalam ekspresi awal: \[ 13 \cdot AB + 2 \cdot BC - (BA - 2BC\sqrt{BA} + BC^2) \] \[ = 13 \cdot AB + 2 \cdot BC - BA + 2BC\sqrt{BA} - BC^2 \] Kita harus berhati-hati dengan tanda negatif yang mengawali kurung. Tanda negatif ini akan mengubah tanda semua suku di dalamnya setelah kurung dihilangkan. Kemudian, kita dapat menyederhanakan ekspresi dengan menggabungkan suku-suku sejenis: 1. Suku \(AB\) atau \(BA\) (karena dalam matematika, \(AB = BA\)) \[ 13AB - BA = 12AB \] 2. Suku \(BC\) \[ 2BC + 2BC\sqrt{BA} - BC^2 \] Menyatukan kedua hasil ini, ekspresi akhirnya adalah: \[ 12AB + 2BC + 2BC\sqrt{BA} - BC^2 \] Ini adalah versi yang disederhanakan dari ekspresi yang diberikan. Catatan penting: Karena tidak ada nilai konkret untuk \(AB\) dan \(BC\), kita tidak dapat menyederhanakan lebih jauh atau mencari nilai numerik tanpa informasi tambahan.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com