Question - Factorization of a Difference of Squares with Higher Powers
Solution:
La imagen muestra una expresión algebraica con la instrucción de factorizar. La expresión es: "8x^4 - y^4".Para factorizar la expresión, podemos reconocer que esto es una diferencia de cuadrados. La forma general para factorizar una diferencia de cuadrados es $$ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $$. Sin embargo, puesto que tenemos cuartas potencias, aplicaremos la diferencia de cuadrados dos veces.Primero notamos que $$ 8x^4 $$ es $$ (2x^2)^2 $$ y que $$ y^4 $$ es $$ y^2 $$^2. Por lo tanto, podemos escribir la expresión como una diferencia de cuadrados y aplicar la fórmula:\[ (2x^2)^2 - (y^2)^2 = (2x^2 + y^2)(2x^2 - y^2) \]Ahora, observamos que $$ 2x^2 - y^2 $$ también es una diferencia de cuadrados, que puede escribirse como $$ ( \sqrt{2}x )^2 - y^2 $$. Aplicamos nuevamente la fórmula de la diferencia de cuadrados:\[ 2x^2 - y^2 = ( \sqrt{2}x + y )( \sqrt{2}x - y ) \]Ahora substituimos esa factorización en nuestra expresión original:\[ (2x^2 + y^2)( \sqrt{2}x + y )( \sqrt{2}x - y ) \]Por lo tanto, la expresión $$ 8x^4 - y^4 $$ completamente factorizada es:\[ (2x^2 + y^2)( \sqrt{2}x + y )( \sqrt{2}x - y ) \]
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