Example Question - height calculation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Calculating the Height of a Kite using Angle of Elevation
<p>Let \( h \) be the height of the kite above the ground and \( d \) be the horizontal distance between observer \( P \) and the point on the ground directly below the kite.</p> <p>For observer \( P \), using the tangent of the elevation angle:</p> <p>\[ \tan(38^\circ) = \frac{h}{d} \rightarrow d = \frac{h}{\tan(38^\circ)} \]</p> <p>For observer \( Q \), \( Q \) is 15 m apart from \( P \) on the horizontal plane, so the horizontal distance between \( Q \) and the point on the ground directly below the kite is \( d + 15 \) m.</p> <p>Using the tangent of the elevation angle for \( Q \):</p> <p>\[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{d + 15} \]</p> <p>Since \( \tan(45^\circ) = 1 \), we have:</p> <p>\[ 1 = \frac{h}{d + 15} \rightarrow d + 15 = h \]</p> <p>Substitute \( d \) from the first equation:</p> <p>\[ \frac{h}{\tan(38^\circ)} + 15 = h \]</p> <p>Solve for \( h \):</p> <p>\[ h(\tan(38^\circ)) = h \tan(38^\circ) \]</p> <p>\[ h = 15 \tan(38^\circ) \]</p> <p>Calculate \( h \) using a calculator:</p> <p>\[ h \approx 15 \times 0.7813 \]</p> <p>\[ h \approx 11.7195 \]</p> <p>The height of the kite to the nearest meter is approximately 12 meters.</p>
Solving Physics Projectile Problem
Claro, vamos a resolver paso a paso la pregunta del problema de física mostrado en la imagen: El problema dice: "Se lanza verticalmente hacia arriba y desde el suelo una pelota de 0,75 kg con una velocidad inicial de 30 m/s. Calcula: a) La altura máxima que alcanzará la pelota. b) Su velocidad cuando se encuentra a 15 m de altura." a) Para calcular la altura máxima que alcanza la pelota, usaremos la conservación de energía, donde la energía cinética inicial se convertirá en energía potencial en el punto más alto. La energía cinética (Ec) inicial la podemos calcular con la fórmula \( Ec = \frac{1}{2}mv^2 \) y la energía potencial (Ep) en el punto más alto con \( Ep = mgh \), donde m es la masa, v es la velocidad, g es la aceleración debido a la gravedad (9.8 m/s^2 en la Tierra), y h es la altura. \( Ec_i = Ep_{max} \) \( \frac{1}{2}mv_i^2 = mgh_{max} \) Podemos cancelar la masa m de ambos lados de la ecuación ya que es igual en ambos términos y despejar para h: \( \frac{1}{2}v_i^2 = gh_{max} \) \( h_{max} = \frac{v_i^2}{2g} \) Sustituimos \( v_i = 30 m/s \) y \( g = 9.8 m/s^2 \): \( h_{max} = \frac{(30 m/s)^2}{2 \cdot 9.8 m/s^2} \) \( h_{max} = \frac{900 m^2/s^2}{19.6 m/s^2} \) \( h_{max} ≈ 45.92 m \) Por lo tanto, la altura máxima que alcanzará la pelota es aproximadamente 45.92 metros. b) Para calcular la velocidad de la pelota a 15 m de altura, usamos la conservación de energía nuevamente, pero esta vez considerando la energía cinética y potencial a esa altura: \( Ec_i + Ep_i = Ec_{15m} + Ep_{15m} \) Ya que la pelota empieza desde el reposo en el suelo, \( Ep_i \) es 0, y \( Ec_{15m} \) es lo que queremos encontrar. Así que: \( \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_{15m}^2 + mgh_{15m} \) Cancelamos m nuevamente y despejamos para \( v_{15m} \): \( \frac{1}{2}v_i^2 = \frac{1}{2}v_{15m}^2 + gh_{15m} \) Movemos \( gh_{15m} \) al otro lado y multiplicamos por 2 ambos lados para eliminar la fracción: \( v_i^2 - 2gh_{15m} = v_{15m}^2 \) Ahora, tomamos la raíz cuadrada para despejar \( v_{15m} \): \( v_{15m} = \sqrt{v_i^2 - 2gh_{15m}} \) Sustituimos \( v_i = 30 m/s \), \( g = 9.8 m/s^2 \) y \( h_{15m} = 15 m \): \( v_{15m} = \sqrt{(30 m/s)^2 - 2 \cdot 9.8 m/s^2 \cdot 15 m} \) \( v_{15m} = \sqrt{900 m^2/s^2 - 294 m^2/s^2} \) \( v_{15m} = \sqrt{606 m^2/s^2} \) \( v_{15m} ≈ 24.62 m/s \) Por lo tanto, la velocidad de la pelota cuando se encuentra a 15 m de altura es aproximadamente 24.62 m/s.
Calculating Heights and Velocities in Vertical Projectile Motion
Per risolvere la domanda presente nell'immagine, occorre utilizzare le leggi del moto uniformemente accelerato (caduta dei gravi), assumendo che l'accelerazione dovuta alla gravità sia g = 9,81 m/s² e trascurando la resistenza dell'aria. La domanda posta nell'immagine dice: "Un uomo che sta sul tetto di un edificio lancia una palla verticalmente verso l'alto; con velocità 12,2 m/s e la palla tocca terra dopo 4,25 s. Quale è la quota più alta raggiunta dalla palla? Quanto è alto l'edificio? Con quale velocità la palla tocca terra?" Per calcolare la quota più alta raggiunta dalla palla, possiamo usare la seguente formula del moto uniformemente accelerato per un corpo lanciato verticalmente verso l'alto: h_max = v_0^2 / (2 * g) dove h_max è l'altezza massima, v_0 è la velocità iniziale di lancio e g è l'accelerazione di gravità. Sostituendo i valori noti: h_max = (12,2 m/s)^2 / (2 * 9,81 m/s²) = 149,44 m²/s² / 19,62 m/s² ≈ 7,62 m Quindi, la quota più alta raggiunta dalla palla è di circa 7,62 metri. Per trovare l'altezza dell'edificio, possiamo usare la formula del tempo di volo totale per un corpo lanciato verticalmente: t_tot = (v_0 / g) + √(2 * h / g) Risolvendo per h (altezza dell'edificio): h = (t_tot - v_0 / g)² * g / 2 Sappiamo che il tempo totale è di 4,25 s. Sostituendo i valori noti nella formula: h = [(4,25 s - 12,2 m/s / 9,81 m/s²)]² * 9,81 m/s² / 2 h = [(4,25 s - 1,243 s)]² * 9,81 m/s² / 2 h = (3,007 s)² * 9,81 m/s² / 2 h = 9,042 s² * 9,81 m/s² / 2 h ≈ 88,34 m L'altezza dell'edificio è quindi di circa 88,34 metri. Infine, per la velocità con cui la palla tocca terra, possiamo usare la formula della velocità finale nel moto uniformemente accelerato nel caso di caduta libera (considerando che la velocità sarà negativa quando tocca terra perché è diretta verso il basso): v = v_0 - g * t Il tempo di caduta dal punto più alto è dato da: t_caduta = t_tot - t_salita = 4,25 s - 1,243 s ≈ 3,007 s Sostituendo i valori per trovare v: v = 12,2 m/s - 9,81 m/s² * 3,007 s v ≈ 12,2 m/s - 29,49 m/s v ≈ -17,29 m/s La velocità con cui la palla tocca terra è di circa 17,29 m/s, diretta verso il basso (indicata qui come negativa per convenzione).
Solving a Right Triangle Problem with Trigonometry
This question involves using trigonometry to solve a right triangle problem. The information provided indicates that Franklin casts a 60° shadow, and the distance from the top of Franklin's head to the shadow's end is 7 feet. The question asks for the length of Franklin's shadow and his height. The 60° angle and the distance from Franklin's head to the shadow's end form a right triangle, with the 7 feet representing the hypotenuse. Let's denote the following: - \( h \) as Franklin's height, - \( s \) as the length of the shadow, - \( 60° \) as the angle of elevation from the end of the shadow to the top of Franklin's head. We can use trigonometry to solve for both \( s \) and \( h \). More specifically, the cosine and sine functions for a 60° angle in a right triangle. Using the cosine function, which is adjacent over hypotenuse: \[ \cos(60°) = \frac{s}{7} \] Since \( \cos(60°) = 0.5 \): \[ 0.5 = \frac{s}{7} \] \[ s = 7 \times 0.5 \] \[ s = 3.5 \text{ feet} \] Using the sine function, which is opposite over hypotenuse: \[ \sin(60°) = \frac{h}{7} \] Since \( \sin(60°) = \sqrt{3}/2 \) or approximately 0.8660: \[ 0.8660 = \frac{h}{7} \] \[ h = 7 \times 0.8660 \] \[ h \approx 6.0620 \text{ feet} \] Rounded to one decimal place, Franklin's height would be approximately 6.1 feet. So, the length of Franklin's shadow is 3.5 feet, and his height is approximately 6.1 feet. The correct answer from the options provided would be: A. 3.5 ft., 6.1 ft.
Volume of a Rectangular Pyramid with Given Angles
Đề bài cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, cạnh \(AB = a\) và góc giữa cạnh bên \(SA\) và mặt đáy \((ABCD)\) là \(60^\circ\). Ta cần tìm thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \((ABCD)\), rõ ràng \(H\) chính là trung điểm của \(AB\). Do góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là \(60^\circ\), nên \(SH\) là hình chiếu của \(SA\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \(60^\circ\). Từ đó ta có: \(SA = SH / \cos 60^\circ\) \(SA = 2 \cdot SH\) Bây giờ, ta cần tính \(SH\) để suy ra \(SA\). Ta biết: \(S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SH = \frac{1}{2} \cdot a \cdot SH = \frac{9a \sqrt{3}}{4}\) Giải phương trình trên để tìm \(SH\), ta được: \(SH = \frac{9a \sqrt{3}}{2a} = \frac{9\sqrt{3}}{2}\) Vậy chiều cao \(SH\) của hình chóp là \(\frac{9\sqrt{3}}{2}\). Để tính được \(SA\), ta dùng tỉ số đã tìm được ở trên: \(SA = 2 \cdot SH = 2 \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}\) Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) được tính bằng công thức: \(V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{base}} \cdot h\) Trong đó \(S_{\text{base}}\) là diện tích mặt đáy \(ABCD\), và \(h\) là chiều cao của chóp (tức là \(SH\)). Diện tích mặt đáy có thể tính được bằng \(AB \cdot BC\), nhưng đề bài không cho chiều dài của \(BC\). Tuy nhiên, ta có thể tính diện tích của tam giác \(SAB\), từ đó suy ra được cạnh \(BC\). Vì \(S_{\triangle SAB}\) là nửa diện tích của hình chữ nhật đáy, nên: \(AB \cdot BC = 2 \cdot S_{\triangle SAB} = 2 \cdot \frac{9a \sqrt{3}}{4} = \frac{9a \sqrt{3}}{2}\) Bây giờ ta có thể tính thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{9a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2}\) \(V = \frac{81a \sqrt{3}}{4}\) Chọn đáp án là B: \(V = \frac{81a \sqrt{3}}{4}\).
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