Example Question - math
Here are examples of questions we've helped users solve.
Determining Angles in a Triangle
<p>Given triangle ABC with angle C = 108° and angle E = 36°, we can find angle A.</p> <p>Using the angle sum property of triangles:</p> <p>Angle A + Angle B + Angle C = 180°</p> <p>Let Angle B = 180° - 108° - 36° = 36°</p> <p>Thus, Angle A = 180° - (108° + 36°) = 36°.</p>
Understanding Exponential Expressions
<p>To simplify the expression, we use the property of exponents that states:</p> <p>When dividing like bases, you subtract the exponents:</p> <p>\(\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}\)</p> <p>Thus, the equation holds:</p> <p>\(\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}\)</p>
Calculating the Volume of a Rectangular Pyramid
<p>La fórmula para el volumen \( V \) de una pirámide rectangular es:</p> <p>V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h</p> <p>donde \( B \) es el área de la base y \( h \) es la altura. En este caso, la base es un rectángulo de dimensiones \( 6 \, \text{cm} \) y \( 5 \, \text{cm} \).</p> <p>Primero, calculamos el área de la base:</p> <p>B = 6 \, \text{cm} \cdot 5 \, \text{cm} = 30 \, \text{cm}^2</p> <p>Ahora, usando la altura \( h = 8 \, \text{cm} \):</p> <p>V = \frac{1}{3} \cdot 30 \, \text{cm}^2 \cdot 8 \, \text{cm} = \frac{240}{3} \, \text{cm}^3 = 80 \, \text{cm}^3</p> <p>Por lo tanto, el volumen de la pirámide rectangular es \( 80 \, \text{cm}^3 \).</p>
Volume Calculation of a Cuboid Structure
<p>El volumen de un cubo pequeño se calcula utilizando la fórmula:</p> <p>V = L^3</p> <p>donde L es la longitud de un lado. Para un cubo pequeño de longitud 1 m, el volumen es:</p> <p>V = 1^3 = 1 \, m^3</p> <p>Para determinar cuántos cubos pequeños hay en el cubo grande, se usa el volumen del cubo grande, que se calcula como:</p> <p>V_{grande} = L_{grande}^3</p> <p>Si el cubo grande tiene una longitud de lado de 5 m:</p> <p>V_{grande} = 5^3 = 125 \, m^3</p> <p>Por lo tanto, el número de cubos pequeños es:</p> <p>N = \frac{V_{grande}}{V_{pequeño}} = \frac{125 \, m^3}{1 \, m^3} = 125</p>
Finding the Volume of a Triangular Prism
<p>Para calcular el volumen de un prisma triangular, utilizamos la fórmula:</p> <p>V = A_b * h</p> <p>donde A_b es el área de la base y h es la altura del prisma.</p> <p>Primero, calculamos el área de la base triangular:</p> <p>A_b = \frac{1}{2} * base * altura = \frac{1}{2} * 6 \, cm * 8 \, cm = 24 \, cm^2</p> <p>Ahora, usando la altura del prisma (10 cm):</p> <p>V = A_b * h = 24 \, cm^2 * 10 \, cm = 240 \, cm^3</p> <p>El volumen del prisma triangular es 240 cm^3.</p>
Finding the Volume of a Rectangular Prism
<p>El volumen \( V \) de un prisma rectangular se calcula mediante la fórmula:</p> <p>\( V = largo \times ancho \times alto \)</p> <p>En este caso, todos los lados son \( 6 \, \text{cm} \):</p> <p>\( V = 6 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} \)</p> <p>\( V = 216 \, \text{cm}^3 \)</p>
Calculating the Volume of a Wood Carving
<p>Para calcular el volumen del sólido, primero dividimos el sólido en dos bloques: uno rectangular y otro con forma de "H".</p> <p>El bloque rectangular tiene dimensiones de 4 cm de ancho, 7 cm de largo y 8 cm de alto.</p> <p>Volumen = largo × ancho × alto = 7 cm × 4 cm × 8 cm = 224 cm³.</p> <p>Para el bloque en forma de "H", calculamos el área de los dos bloques rectangulares que la componen, que son 6 cm de ancho, 4 cm de alto, y 7 cm de largo.</p> <p>Entonces, tenemos 2 bloques de: 6 cm × 4 cm × 4 cm = 96 cm³.</p> <p>Por tanto, el volumen total del sólido es: 224 cm³ + 96 cm³ = 320 cm³.</p>
Finding the Value of a Variable in a Triangle
<p>Para encontrar el valor de \( x \), utilizamos la propiedad de que la suma de los ángulos en un triángulo es igual a 180 grados.</p> <p>Los ángulos dados son \( 37^\circ \) y \( x \). Si el tercer ángulo se denota como \( 120^\circ \), entonces podemos plantear la ecuación:</p> <p> \( 37^\circ + x + 120^\circ = 180^\circ \)</p> <p>Resolviendo, tenemos:</p> <p> \( x = 180^\circ - 37^\circ - 120^\circ \)</p> <p> \( x = 23^\circ \)</p> <p>En conclusión, el valor de \( x \) es \( 23^\circ \).</p>
Finding the Value of an Angle
<p> Dado que los ángulos de un triángulo suman 180 grados, podemos establecer la siguiente ecuación: </p> <p> 33° + 145° + x = 180° </p> <p> Ahora, sumamos 33° y 145°: </p> <p> 178° + x = 180° </p> <p> A continuación, restamos 178° de ambos lados: </p> <p> x = 180° - 178° </p> <p> Por lo tanto, tenemos: </p> <p> x = 2° </p>
Mathematical Statements Evaluation
<p>Para la opción a:</p> <p>6 + 4 = 10 y 9 - 4 = 5;</p> <p>Ambas afirmaciones son verdaderas.</p> <p>Para la opción b:</p> <p>8/2 = 4 y 8 + 2 = 12;</p> <p>Ambas afirmaciones son verdaderas.</p> <p>Para la opción c:</p> <p>No se puede evaluar como verdadera o falsa ya que es una afirmación.</p> <p>Para la opción d:</p> <p>Si 3 * 7 = 21, entonces 9 - 7 = 2;</p> <p>Ambas afirmaciones son verdaderas.</p>
Graphing Intervals and Functions
<p>Para representar gráficamente los intervalos, comenzamos con:</p> <p>a. [1, 2): Una línea sólida desde 1 hasta 2, sin incluir 2.</p> <p>b. (-∞, 2]: Una línea sólida que se extiende desde -∞ hasta 2, incluyendo 2.</p> <p>c. (-5, 0): Una línea sólida desde -5 hasta 0, sin incluir 0.</p> <p>d. [2, ∞): Una línea sólida desde 2 hacia el infinito, incluyendo 2.</p> <p>e. (-∞, -1]: Una línea sólida que se extiende desde -∞ hasta -1, incluyendo -1.</p> <p>Para la función:</p> <p>a. \( y = \sqrt{x - 4} \): El dominio es \( x \geq 4 \) y el rango es \( y \geq 0 \).</p> <p>b. \( y = \sqrt{x + 1} \): El dominio es \( x \geq -1 \) y el rango es \( y \geq 0 \).</p>
Linear Equation in Two Variables
<p>To solve the equation \(3x - 5y - 21 = 0\), we can isolate \(y\).</p> <p>Add \(5y\) and \(21\) to both sides:</p> <p>\(3x = 5y + 21\)</p> <p>Now, subtract \(21\) from both sides:</p> <p>\(3x - 21 = 5y\)</p> <p>Divide each term by \(5\) to solve for \(y\):</p> <p>\(y = \frac{3x - 21}{5}\)</p>
Multiplication Problem
<p>To solve \( 2 \times 2 \):</p> <p>1. Multiply the numbers:</p> <p> \( 2 \times 2 = 4 \)</p> <p>Therefore, the answer is 4.</p>
Finding Distance in a Triangle
<p>Дано треугольник ABC со сторонами AB = 5 см, BC = 8 см, AC = 9 см.</p> <p>Сначала находим полупериметр треугольника: </p> <p>s = (AB + BC + AC)/2 = (5 + 8 + 9)/2 = 11 см.</p> <p>Находим радиус вписанной окружности r: </p> <p>r = A / s, где A — площадь треугольника. Используем формулу Герона для нахождения A: </p> <p>A = √(s(s - AB)(s - BC)(s - AC)) = √(11(11 - 5)(11 - 8)(11 - 9)) = √(11 * 6 * 3 * 2) = √(396) = 6√11.</p> <p>Следовательно, r = (6√11) / 11.</p> <p>Теперь находим расстояние от точки K до точки M биссектрисы BM. Сначала находим длину BM: </p> <p>BM = (AC * AB) / (AB + AC) = (9 * 5) / (5 + 9) = 45/14.</p> <p>Теперь, зная BM и KL = r, можем найти KM: </p> <p>KM = BM - r.</p>
Simplifying Mathematical Expressions
<p>a) \left| \frac{2}{3} \cdot \left( -\frac{3}{5} \right) \cdot \frac{1}{4} \right| = \left| -\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 4} \right| = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}</p> <p>b) \left| \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{7} \right)^{\frac{3}{2}} \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{2^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}} = \frac{\sqrt{8}}{2\sqrt{343}} = \frac{2\sqrt{2}}{14\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{2}}{7\sqrt{7}}</p> <p>c) \left| \left( \frac{5}{4} \right)^{-1} \right| = \left| \frac{4}{5} \right| = \frac{4}{5}</p>
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