Example Question - rectangular pyramid
Here are examples of questions we've helped users solve.
Calculating the Volume of a Rectangular Pyramid
<p>La fórmula para el volumen \( V \) de una pirámide rectangular es:</p> <p>V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h</p> <p>donde \( B \) es el área de la base y \( h \) es la altura. En este caso, la base es un rectángulo de dimensiones \( 6 \, \text{cm} \) y \( 5 \, \text{cm} \).</p> <p>Primero, calculamos el área de la base:</p> <p>B = 6 \, \text{cm} \cdot 5 \, \text{cm} = 30 \, \text{cm}^2</p> <p>Ahora, usando la altura \( h = 8 \, \text{cm} \):</p> <p>V = \frac{1}{3} \cdot 30 \, \text{cm}^2 \cdot 8 \, \text{cm} = \frac{240}{3} \, \text{cm}^3 = 80 \, \text{cm}^3</p> <p>Por lo tanto, el volumen de la pirámide rectangular es \( 80 \, \text{cm}^3 \).</p>
Counting Spheres in Rectangular Pyramid
Die Aufgabe lautet: Übung 2.2: Bestimmen Sie die Anzahl der Kugeln dieser rechteckigen Pyramide und nutzen Sie dabei verschiedene Zählstrategien. a) Notieren Sie diese so, dass ersichtlich ist, wie Sie zählen. Die Anzahl der Kugeln in der Pyramide kann auf verschiedene Weisen ermittelt werden. Hier ist ein Ansatz: - **Von oben nach unten zählen**: Wir zählen die sichtbaren Kugeln in jeder Reihe von der Draufsicht aus. - Oberste Ebene: 1 Kugel - Zweite Ebene: 2 Kugeln - Dritte Ebene: 3 Kugeln - Vierte Ebene: 4 Kugeln - Fünfte Ebene: 5 Kugeln - Die Gesamtzahl der Kugeln ist die Summe dieser Anzahlen, also 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 Kugeln. Eine andere Methode wäre das Zählen der Kugeln von der Seitenansicht (wobei uns nur eine Seite vollständig sichtbar ist): - **Von links nach rechts zählen**: - Erste Reihe von links: 1 Kugel - Zweite Reihe: 2 Kugeln in der Höhe, also 2 zusätzliche Kugeln - Dritte Reihe: 3 Kugeln in der Höhe, also 3 zusätzliche Kugeln - Vierte Reihe: 2 Kugeln (oberste Kugel dieser Reihe war schon in der Reihe davor gezählt) - Fünfte Reihe: 1 Kugel (ebenfalls schon gezählt in den Reihen davor) - Addieren wir diese, bekommen wir ebenfalls 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 Kugeln. Die Summe der Kugeln bleibt jedoch 15, denn wir haben einige Kugeln, die in unterschiedlichen Ebenen liegen, doppelt gezählt, wenn wir von der Seite schauen. Die korrekte Methode wäre somit, von oben nach unten zu zählen, um jede Kugel nur einmal zu zählen. b) Was passiert mit der Anzahl der Kugeln, wenn man die Pyramide vergrößert? Wenn die Pyramide vergrößert wird, erhöht sich die Anzahl der Kugeln in jeder Ebene um die Anzahl der Reihen, die zur Pyramide hinzugefügt werden. Angenommen, eine weitere Reihe wird am Boden hinzugefügt, so erhöht sich die Anzahl der Kugeln in der untersten Ebene um sechs. Damit erhält man eine neue Reihe mit sechs Kugeln am Boden. Die Gesamtzahl der Kugeln würde sich erhöhen, und da die Pyramide symmetrisch ist, würde die Anzahl der Kugeln mit jedem Zuwachs an Höhe mit einer einfach berechenbaren Regel steigen, die der Reihe der natürlichen Zahlen folgt.
Volume of a Rectangular Pyramid with Given Angles
Đề bài cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, cạnh \(AB = a\) và góc giữa cạnh bên \(SA\) và mặt đáy \((ABCD)\) là \(60^\circ\). Ta cần tìm thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \((ABCD)\), rõ ràng \(H\) chính là trung điểm của \(AB\). Do góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là \(60^\circ\), nên \(SH\) là hình chiếu của \(SA\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \(60^\circ\). Từ đó ta có: \(SA = SH / \cos 60^\circ\) \(SA = 2 \cdot SH\) Bây giờ, ta cần tính \(SH\) để suy ra \(SA\). Ta biết: \(S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SH = \frac{1}{2} \cdot a \cdot SH = \frac{9a \sqrt{3}}{4}\) Giải phương trình trên để tìm \(SH\), ta được: \(SH = \frac{9a \sqrt{3}}{2a} = \frac{9\sqrt{3}}{2}\) Vậy chiều cao \(SH\) của hình chóp là \(\frac{9\sqrt{3}}{2}\). Để tính được \(SA\), ta dùng tỉ số đã tìm được ở trên: \(SA = 2 \cdot SH = 2 \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}\) Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) được tính bằng công thức: \(V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{base}} \cdot h\) Trong đó \(S_{\text{base}}\) là diện tích mặt đáy \(ABCD\), và \(h\) là chiều cao của chóp (tức là \(SH\)). Diện tích mặt đáy có thể tính được bằng \(AB \cdot BC\), nhưng đề bài không cho chiều dài của \(BC\). Tuy nhiên, ta có thể tính diện tích của tam giác \(SAB\), từ đó suy ra được cạnh \(BC\). Vì \(S_{\triangle SAB}\) là nửa diện tích của hình chữ nhật đáy, nên: \(AB \cdot BC = 2 \cdot S_{\triangle SAB} = 2 \cdot \frac{9a \sqrt{3}}{4} = \frac{9a \sqrt{3}}{2}\) Bây giờ ta có thể tính thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{9a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2}\) \(V = \frac{81a \sqrt{3}}{4}\) Chọn đáp án là B: \(V = \frac{81a \sqrt{3}}{4}\).
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