Question - Solving Trigonometric Equation with Substitution and Periodicity
Solution:
이 문제를 풀기 위해서 $$ sinx + \sqrt{3} cosx = \frac{1}{2} $$ 이 되는 $$ x $$의 값을 찾아야 합니다. 주어진 범위는 $$ -3\pi \leq x \leq 3\pi $$ 입니다.식을 간단하게 만들기 위해 다음과 같은 대입을 할 수 있습니다. $$ sinx = sin(\alpha) $$$$ \sqrt{3} cosx = cos(\alpha) $$이때 $$ \alpha $$가 만족해야 하는 조건은 $$ sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1 $$이므로, 위의 대입으로 가능한 $$ \alpha $$ 값은 $$ 60^\circ $$ 또는 $$ \frac{\pi}{3} $$라디안이 될 것입니다. 왜냐하면 $$ sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$이고 $$ cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $$이기 때문입니다.이제 $$ \alpha = 60^\circ $$일 때, 우리는 식을 sin(x + 60^\circ)로 보고 이것이 1/2이 되는 $$ x $$ 값을 찾으면 됩니다.$$ sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $$이제 $$ \frac{1}{2} $$인 각을 찾으면 됩니다. sin 함수가 $$ \frac{1}{2} $$ 값을 가지는 각은 $$ 30^\circ $$ (또는 $$ \frac{\pi}{6} $$)과 $$ 150^\circ $$ (또는 $$ \frac{5\pi}{6} $$)입니다. 이제 $$ x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} $$ 또는 $$ x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} $$으로 가능한 해를 구합니다.$$ x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} $$ 인 경우:$$ x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} $$$$ x = -\frac{\pi}{6} $$$$ x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} $$ 인 경우:$$ x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} $$$$ x = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} $$$$ x = \frac{3\pi}{6} $$$$ x = \frac{\pi}{2} $$그러나 식에서 구해야 하는 $$ x $$는 $$ -3\pi \leq x \leq 3\pi $$ 사이이므로, 우리는 $$ \sin $$ 함수의 주기가 $$ 2\pi $$라는 것을 이용해 모든 해를 찾을 수 있습니다.따라서 주기성을 이용하여 식 $$ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi $$와 $$ x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi $$ (여기서 $$ k $$는 정수)을 이용할 수 있습니다. 이 식들이 주어진 범위 내에서 가질 수 있는 모든 값들을 찾으면 됩니다.위의 식들을 만족하는 $$ k $$에 대한 $$ x $$의 가능한 값들은 다음과 같습니다:$$ x = \frac{\pi}{6} $$, $$ x = \frac{5\pi}{6} $$, $$ x = -\frac{11\pi}{6} $$, $$ x = -\frac{7\pi}{6} $$, $$ x = -\frac{\pi}{6} $$, $$ x = \frac{\pi}{2} $$, $$ x = -\frac{5\pi}{2} $$범위 안에서 여러 해들 중에서 위의 조건을 만족하는 $$ x $$ 값을 찾으면 됩니다.
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