Example Question - substitution
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving a System of Linear Equations Using Substitution or Elimination
<p>The system of equations is:</p> \[ \begin{align*} 5x + 4y &= 58 \quad \text{(1)} \\ 3x + 7y &= 67 \quad \text{(2)} \end{align*} \] <p>To solve the system, we can use either substitution or elimination. Here, we will use the elimination method. The goal is to eliminate one variable by making the coefficients of either \( x \) or \( y \) the same in both equations.</p> <p>Multiply equation (1) by 3 and equation (2) by 5:</p> \[ \begin{align*} 3(5x + 4y) &= 3(58) \quad \Rightarrow \quad 15x + 12y &= 174 \quad \text{(3)} \\ 5(3x + 7y) &= 5(67) \quad \Rightarrow \quad 15x + 35y &= 335 \quad \text{(4)} \end{align*} \] <p>Subtract equation (3) from equation (4):</p> \[ \begin{align*} (15x + 35y) - (15x + 12y) &= 335 - 174 \\ 15x + 35y - 15x - 12y &= 161 \\ 23y &= 161 \end{align*} \] <p>Divide by 23 to find \( y \):</p> \[ \begin{align*} y &= \frac{161}{23} \\ y &= 7 \end{align*} \] <p>Substitute \( y = 7 \) into equation (1):</p> \[ \begin{align*} 5x + 4(7) &= 58 \\ 5x + 28 &= 58 \\ 5x &= 58 - 28 \\ 5x &= 30 \end{align*} \] <p>Divide by 5 to find \( x \):</p> \[ \begin{align*} x &= \frac{30}{5} \\ x &= 6 \end{align*} \] <p>The solution set is \( (x, y) = (6, 7) \).</p>
Evaluate the Expression with Given Variable Values
Dado que \text{a} = 3, \text{b} = 4 \text{ y c} = 5, evaluamos la expresión 3\text{a} - 5\text{b} + 2\text{c} sustituyendo los valores correspondientes: <p>3\text{a} - 5\text{b} + 2\text{c} = 3(3) - 5(4) + 2(5)</p> <p>3\text{a} - 5\text{b} + 2\text{c} = 9 - 20 + 10</p> <p>3\text{a} - 5\text{b} + 2\text{c} = -11 + 10</p> <p>3\text{a} - 5\text{b} + 2\text{c} = -1</p> Por lo tanto, la solución es \text{-1}.
Solving Trigonometric Equation with Substitution and Periodicity
이 문제를 풀기 위해서 \( sinx + \sqrt{3} cosx = \frac{1}{2} \) 이 되는 \( x \)의 값을 찾아야 합니다. 주어진 범위는 \( -3\pi \leq x \leq 3\pi \) 입니다. 식을 간단하게 만들기 위해 다음과 같은 대입을 할 수 있습니다. \( sinx = sin(\alpha) \) \( \sqrt{3} cosx = cos(\alpha) \) 이때 \( \alpha \)가 만족해야 하는 조건은 \( sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1 \)이므로, 위의 대입으로 가능한 \( \alpha \) 값은 \( 60^\circ \) 또는 \( \frac{\pi}{3} \)라디안이 될 것입니다. 왜냐하면 \( sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)이고 \( cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \)이기 때문입니다. 이제 \( \alpha = 60^\circ \)일 때, 우리는 식을 sin(x + 60^\circ)로 보고 이것이 1/2이 되는 \( x \) 값을 찾으면 됩니다. \( sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \) 이제 \( \frac{1}{2} \)인 각을 찾으면 됩니다. sin 함수가 \( \frac{1}{2} \) 값을 가지는 각은 \( 30^\circ \) (또는 \( \frac{\pi}{6} \))과 \( 150^\circ \) (또는 \( \frac{5\pi}{6} \))입니다. 이제 \( x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} \) 또는 \( x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} \)으로 가능한 해를 구합니다. \( x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} \) 인 경우: \( x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} \) \( x = -\frac{\pi}{6} \) \( x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} \) 인 경우: \( x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} \) \( x = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} \) \( x = \frac{3\pi}{6} \) \( x = \frac{\pi}{2} \) 그러나 식에서 구해야 하는 \( x \)는 \( -3\pi \leq x \leq 3\pi \) 사이이므로, 우리는 \( \sin \) 함수의 주기가 \( 2\pi \)라는 것을 이용해 모든 해를 찾을 수 있습니다. 따라서 주기성을 이용하여 식 \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \)와 \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \) (여기서 \( k \)는 정수)을 이용할 수 있습니다. 이 식들이 주어진 범위 내에서 가질 수 있는 모든 값들을 찾으면 됩니다. 위의 식들을 만족하는 \( k \)에 대한 \( x \)의 가능한 값들은 다음과 같습니다: \( x = \frac{\pi}{6} \), \( x = \frac{5\pi}{6} \), \( x = -\frac{11\pi}{6} \), \( x = -\frac{7\pi}{6} \), \( x = -\frac{\pi}{6} \), \( x = \frac{\pi}{2} \), \( x = -\frac{5\pi}{2} \) 범위 안에서 여러 해들 중에서 위의 조건을 만족하는 \( x \) 값을 찾으면 됩니다.
Expression Evaluation with Substitution
To evaluate the expression, simply substitute \( x = 20 \) into the expression and simplify: \[ \frac{5(x - 8)}{6} - 1 \] Plugging in \( x = 20 \): \[ \frac{5(20 - 8)}{6} - 1 \] \[ \frac{5(12)}{6} - 1 \] \[ \frac{60}{6} - 1 \] \[ 10 - 1 \] \[ 9 \] So, the value of the expression when \( x = 20 \) is 9.
Integration using Substitution
To solve the integral \[ \int \frac{dx}{1 + \sqrt{x}}, \] we can use a substitution. Let's set \( u = \sqrt{x} \), then \( u^2 = x \). Now, we differentiate both sides with respect to \( x \) to get the differential relationship between \( u \) and \( x \). This gives us \( 2u du = dx \), or \( dx = 2u du \). Substitute into the integral: \[ \int \frac{2u}{1 + u} du. \] Now, let's divide the numerator by the denominator to simplify: \[ \int \frac{2u}{1 + u} du = \int \left(2 - \frac{2}{1 + u}\right) du. \] Breaking this integral apart we get: \[ \int 2 du - \int \frac{2}{1 + u} du. \] Integrating term by term: \[ 2u - 2\ln|1 + u| + C. \] Now we substitute back to express in terms of \( x \): \[ 2\sqrt{x} - 2\ln|\sqrt{x} + 1| + C, \] where \( C \) is the constant of integration. Therefore, the solution to the integral is: \[ \int \frac{dx}{1 + \sqrt{x}} = 2\sqrt{x} - 2\ln|\sqrt{x} + 1| + C. \]
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