Example Question - trigonometric equation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Trigonometric Equation Solution
<p>给定方程 \(2 \tan \theta = 3 \cos \theta\)，求解 \(\theta\)，其中 \(0^\circ \leq \theta < 360^\circ\)。</p> <p>将 \(\tan \theta\) 转换为 \(\sin \theta\) 和 \( \cos \theta\) 的比率：</p> <p>\(2 \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 3 \cos \theta\)</p> <p>交叉相乘得到：</p> <p>\(2 \sin \theta = 3 \cos^2 \theta\)</p> <p>我们知道 \(\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta\), 所以代入得：</p> <p>\(2 \sin \theta = 3 (1 - \sin^2 \theta)\)</p> <p>现在我们得到一个关于 \(\sin \theta\) 的二次方程：</p> <p>\(3 \sin^2 \theta + 2 \sin \theta - 3 = 0\)</p> <p>使用求根公式得到 \(\sin \theta\) 的值：</p> <p>\(\sin \theta = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot3\cdot(-3)}}{2\cdot3}\)</p> <p>\(\sin \theta = \frac{-2 \pm \sqrt{4+36}}{6}\)</p> <p>\(\sin \theta = \frac{-2 \pm \sqrt{40}}{6}\)</p> <p>\(\sin \theta = \frac{-2 \pm 2\sqrt{10}}{6}\)</p> <p>由于 \(0^\circ \leq \theta < 360^\circ\)，我们需要考虑正弦函数的所有可能值：</p> <p>负数解不在给定的区间内，我们采用：</p> <p>\(\sin \theta = \frac{-2 + 2\sqrt{10}}{6}\)</p> <p>然后利用反正弦函数找到对应的角度值，在 \(0^\circ \leq \theta < 180^\circ\) 时为主值，\(180^\circ \leq \theta < 360^\circ\) 时为同周期值：</p> <p>\(\theta = \arcsin\left(\frac{-2 + 2\sqrt{10}}{6}\right)\) or \(\theta = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{-2 + 2\sqrt{10}}{6}\right)\)</p> <p>计算得到角度值并保留到最近的 \(0.1^\circ\)：</p> <p>\(\theta \approx 43.9^\circ\) or \(\theta \approx 136.1^\circ\)</p> <p>所以答案是 C)。</p>
Trigonometric Equation Assistance Request
بالطبع، يُمكنني مساعدتك في حل المسألة الموجودة في الصورة. الصورة تحتوي على معادلة تريغونومترية، ولكن جزء من المعادلة غير واضح بسبب طريقة التصوير. أستطيع حلها إذا كانت كلها مرئية وواضحة. إذا أمكنك، من فضلك أرسل صورة أوضح للمعادلة الكاملة لأتمكن من مساعدتك في الحل.
Solving Trigonometric Equation with Multiple Identities
La ecuación proporcionada es: \[ \cos(2x) = -\tan(3x) \] Para resolver esta ecuación podemos utilizar las identidades trigonométricas. Primero recordamos la identidad: \[ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \] Entonces, sustituimos \(-\tan(3x)\) en la ecuación original: \[ \cos(2x) = -\frac{\sin(3x)}{\cos(3x)} \] Ahora, utilizamos la identidad para coseno de un ángulo doble: \[ \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2(\theta) \quad \text{o} \quad \cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1 \] Es importante recordar que hay varias formas de expresar \(\cos(2\theta)\) y debemos escoger la forma que mejor convenga a nuestra ecuación. Para esta situación, parece más apropiado usar la primera identidad ya que incluye términos en \(\sin\), que está presente en nuestro problema. Así, reemplazamos \(\cos(2x)\) en la ecuación: \[ 1 - 2\sin^2(x) = -\frac{\sin(3x)}{\cos(3x)} \] Pero aún tenemos que lidiar con la expresión \(\sin(3x)\), y para eso podemos usar la identidad de ángulo triple para el seno: \[ \sin(3\theta) = 3\sin(\theta) - 4\sin^3(\theta) \] Aunque usar esta identidad podría complicar más la ecuación. Otra opción es utilizar una combinación de las identidades seno y coseno de suma para expresar \(\sin(3x)\): \[ \sin(3x) = \sin(2x + x) = \sin(2x)\cos(x) + \cos(2x)\sin(x) \] Esta expresión aún implica resolver una ecuación más complicada. Dado que estamos buscando valores específicos de \(x\), puede ser más sencillo multiplicar ambos lados de la ecuación original por \(\cos(3x)\) y aplicar la identidad para el coseno del ángulo doble que mencionamos antes, para luego tratar de simplificar y resolver la ecuación. \[ \cos(2x)\cos(3x) = -\sin(3x) \] Si aplicamos las identidades de producto para seno y coseno (fórmulas de sumas y diferencias), podríamos simplificar más la ecuación. La complejidad de esta operación requeriría un trabajo algebraico detallado y posiblemente considerar las restricciones de los dominios de las funciones trigonométricas involucradas. En este punto, sería útil graficar o utilizar herramientas matemáticas computacionales para obtener una solución aproximada o identificar los valores de \(x\) donde la igualdad se cumple. Lamentablemente, sin más contexto o restricciones de \(x\), encontrar una solución exacta y simple podría no ser directo.
Solving Trigonometric Equation with Conditions in Given Range
이 방정식을 푸는 방법은 다음과 같습니다. 우리는 주어진 범위 내에서 방정식 sin(x) + √3 cos(x) = 1을 만족하는 x값을 찾아야 합니다. 우선, 방정식 양변에 cos(x)를 나누어서 식을 간단히 합니다. tan(x) + √3 = 1 / cos(x) 여기서, tan(x)는 sin(x)/cos(x)이므로 식을 다시 쓸 수 있습니다. (sin(x)/cos(x)) + √3 = 1/cos(x) 이제, 이 식을 cos(x)에 대한 이차방정식으로 재정리합니다. sin(x) + √3cos(x) = cos(x) 위 식을 다시 배열하면, sin(x) = (1 - √3)cos(x) 이제 삼각함수의 항등식을 이용하여 x 값을 찾을 수 있습니다. tan(x) = sin(x)/cos(x) = 1 - √3 우리는 주어진 범위 내에서 tan(x)가 1 - √3이 되는 x 값을 찾아야 합니다. 1 - √3은 음수 값이므로 우리는 tan(x)가 음수인 사분면을 고려해야 합니다. 이 경우 2사분면과 4사분면입니다. tan(x)의 주기는 π이므로, 우리는 이 범위 내에서 tan(x) = 1 - √3을 만족하는 각도 x를 찾기 위해 x를 π 단위로 증가시키면서 검사해야 합니다. 또한 tan(x)의 값이 음수가 되는 각도는 π/2 < x < π(2사분면)와 3π/2 < x < 2π(4사분면) 입니다. 하지만 주어진 범위는 -3π < x < 3π/2 이므로 우리는 2사분면과 4사분면에서 tan(x) = 1 - √3을 만족하는 x를 찾으면 됩니다. 따라서 주어진 범위 내에서 tan(x) = 1 - √3을 만족하는 x를 찾기 위해서는 arctan(1 - √3) 값을 구한 다음, 해당 값에 해당하는 각도가 주어진 범위 내에 있는지 확인해야 합니다. 허나 실제로 구하려는 값 tan(x) = 1 - √3는 표준 삼각함수의 값에 해당하지 않기 때문에, 이 식을 만족하는 정확한 각도 x를 찾기 위해서는 계산기나 수치적인 해법을 사용해야 합니다. 주어진 범위 내에서 이를 만족하는 x의 값을 찾아야 하며, 이 값이 실제로 그 범위에 들어맞는지 확인해야 합니다.
Solving Trigonometric Equation with Substitution and Periodicity
이 문제를 풀기 위해서 \( sinx + \sqrt{3} cosx = \frac{1}{2} \) 이 되는 \( x \)의 값을 찾아야 합니다. 주어진 범위는 \( -3\pi \leq x \leq 3\pi \) 입니다. 식을 간단하게 만들기 위해 다음과 같은 대입을 할 수 있습니다. \( sinx = sin(\alpha) \) \( \sqrt{3} cosx = cos(\alpha) \) 이때 \( \alpha \)가 만족해야 하는 조건은 \( sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1 \)이므로, 위의 대입으로 가능한 \( \alpha \) 값은 \( 60^\circ \) 또는 \( \frac{\pi}{3} \)라디안이 될 것입니다. 왜냐하면 \( sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)이고 \( cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \)이기 때문입니다. 이제 \( \alpha = 60^\circ \)일 때, 우리는 식을 sin(x + 60^\circ)로 보고 이것이 1/2이 되는 \( x \) 값을 찾으면 됩니다. \( sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \) 이제 \( \frac{1}{2} \)인 각을 찾으면 됩니다. sin 함수가 \( \frac{1}{2} \) 값을 가지는 각은 \( 30^\circ \) (또는 \( \frac{\pi}{6} \))과 \( 150^\circ \) (또는 \( \frac{5\pi}{6} \))입니다. 이제 \( x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} \) 또는 \( x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} \)으로 가능한 해를 구합니다. \( x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} \) 인 경우: \( x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} \) \( x = -\frac{\pi}{6} \) \( x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} \) 인 경우: \( x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} \) \( x = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} \) \( x = \frac{3\pi}{6} \) \( x = \frac{\pi}{2} \) 그러나 식에서 구해야 하는 \( x \)는 \( -3\pi \leq x \leq 3\pi \) 사이이므로, 우리는 \( \sin \) 함수의 주기가 \( 2\pi \)라는 것을 이용해 모든 해를 찾을 수 있습니다. 따라서 주기성을 이용하여 식 \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \)와 \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \) (여기서 \( k \)는 정수)을 이용할 수 있습니다. 이 식들이 주어진 범위 내에서 가질 수 있는 모든 값들을 찾으면 됩니다. 위의 식들을 만족하는 \( k \)에 대한 \( x \)의 가능한 값들은 다음과 같습니다: \( x = \frac{\pi}{6} \), \( x = \frac{5\pi}{6} \), \( x = -\frac{11\pi}{6} \), \( x = -\frac{7\pi}{6} \), \( x = -\frac{\pi}{6} \), \( x = \frac{\pi}{2} \), \( x = -\frac{5\pi}{2} \) 범위 안에서 여러 해들 중에서 위의 조건을 만족하는 \( x \) 값을 찾으면 됩니다.
Solving Trigonometric Equation Using Quadratic Formula and Inverse Trigonometric Functions
The provided image contains a trigonometric equation and a hint on how to solve it: \[\text{Given: } (\tan(x))^2 - 1.3\tan(x) - 0.48 = 0\] The hint suggests using the quadratic formula, inverse trigonometric functions, and the symmetry of the unit circle to solve the equation. Let's denote \( \tan(x) = y \), which transforms the equation into a quadratic form: \[ y^2 - 1.3y - 0.48 = 0 \] Now, we can solve for \( y \) using the quadratic formula where \( a = 1, b = -1.3, \) and \( c = -0.48 \): \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Applying the values: \[ y = \frac{1.3 \pm \sqrt{(1.3)^2 - 4(1)(-0.48)}}{2} \] Solve under the square root: \[ y = \frac{1.3 \pm \sqrt{1.69 + 1.92}}{2} \] \[ y = \frac{1.3 \pm \sqrt{3.61}}{2} \] \[ y = \frac{1.3 \pm 1.9}{2} \] This gives us two possible solutions for \( y \): \[ y_1 = \frac{1.3 + 1.9}{2} = \frac{3.2}{2} = 1.6 \] \[ y_2 = \frac{1.3 - 1.9}{2} = \frac{-0.6}{2} = -0.3 \] Now, let's turn back to the original variable \( x \): For \( y_1 = \tan(x) = 1.6 \): \[ x = \arctan(1.6) \] This needs to be solved in the given interval \([0, 2\pi]\). Since tangent has a period of \( \pi \), there will be two solutions for \( x \) in the given interval. To find the second solution, we add \( \pi \) to the first solution: \[ x_1 = \arctan(1.6) \] \[ x_2 = \arctan(1.6) + \pi \] For \( y_2 = \tan(x) = -0.3 \): \[ x = \arctan(-0.3) \] Similarly, there will be two solutions for \( x \) in the interval \([0, 2\pi]\): \[ x_3 = \arctan(-0.3) \] \[ x_4 = \arctan(-0.3) + \pi \] Now, let's find the numerical values for these four \( x \) solutions. Remember, these will be approximate values as \( \arctan \) doesn't usually produce neat numbers: \[ x_1 = \arctan(1.6) \] \[ x_2 = \arctan(1.6) + \pi \] \[ x_3 = \arctan(-0.3) \] \[ x_4 = \arctan(-0.3) + \pi \] Using a calculator (or any computational tool): \[ x_1 \approx 1.012197011 \quad(\text{in radians}) \] \[ x_2 \approx 1.012197011 + \pi \approx 4.153789664 \] \[ x_3 \approx -0.291456794 \quad(\text{in radians}) \] \[ x_4 \approx -0.291456794 + \pi \approx 2.850135858 \] Note: \( x_3 \) is negative so we need to add \( 2\pi \) to it to bring it within the \([0, 2\pi]\) interval: \[ x_3 = -0.291456794 + 2\pi \approx 5.992728452 \] The calculator is showing an approximation for the solution \( x \) which looks like: \[ x \approx 0.9828, \arctan(-0.3) + \pi \] We can interpret this as follows: The first solution \( x_1 \) is approximately \( 0.9828 \) (which could be a rounding discrepancy from the more accurate value we computed, \( \approx 1.012197011 \)). The second solution \( x_3 \) is approximately equal to \( \arctan(-0.3) + \pi \), which we computed as \( \approx 2.850135858 \) radians. So, we find \( x \) to have the following approximate solutions in the interval \( [0, 2\pi] \): \[ x_1 \approx 1.012197011 \quad (\text{radians}) \] \[ x_2 \approx 4.153789664 \quad (\text{radians}) \] \[ x_3 \approx 5.992728452 \quad (\text{radians}) \] \[ x_4 \approx 2.850135858 \quad (\text{radians}) \] These solutions correspond to the angles where the original equation holds true within the given interval.
Solving Trigonometric Equation with Quadratic Formula
The equation given is trigonometric, and it can be rewritten and solved by exploiting the trigonometric identities. The equation is: sec^2(x) - 2tan(x) - 2 = 0 Now, considering the trigonometric identity sec^2(x) = tan^2(x) + 1, let's rewrite the equation using this identity: tan^2(x) + 1 - 2tan(x) - 2 = 0 Simplify it: tan^2(x) - 2tan(x) - 1 = 0 This is a quadratic equation in tan(x). To solve for tan(x), we use the quadratic formula: if ax^2 + bx + c = 0, then x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a). Here, a = 1, b = -2, and c = -1. Using the quadratic formula: tan(x) = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4*1*(-1)))/(2*1) tan(x) = (2 ± √(4 + 4))/2 tan(x) = (2 ± √8)/2 tan(x) = (2 ± 2√2)/2 tan(x) = 1 ± √2 This gives us two possible values for tan(x): tan(x) = 1 + √2 or tan(x) = 1 - √2 To find x, we look for the angle whose tangent is these values. The exact values of the angles depend on the interval for x that we are solving over, which has not been provided. In general, you would use a calculator or inverse tangent function to find these angles within a given interval. Keep in mind the periodic nature of the tangent function and the fact that it is positive in the first and third quadrants and negative in the second and fourth quadrants if you are working with standard intervals like [0, 2π) or [-π, π).
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