Solving Trigonometric Equation with Substitution and Periodicity
이 문제를 풀기 위해서 \( sinx + \sqrt{3} cosx = \frac{1}{2} \) 이 되는 \( x \)의 값을 찾아야 합니다. 주어진 범위는 \( -3\pi \leq x \leq 3\pi \) 입니다.
식을 간단하게 만들기 위해 다음과 같은 대입을 할 수 있습니다.
\( sinx = sin(\alpha) \)
\( \sqrt{3} cosx = cos(\alpha) \)
이때 \( \alpha \)가 만족해야 하는 조건은 \( sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1 \)이므로, 위의 대입으로 가능한 \( \alpha \) 값은 \( 60^\circ \) 또는 \( \frac{\pi}{3} \)라디안이 될 것입니다. 왜냐하면 \( sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)이고 \( cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \)이기 때문입니다.
이제 \( \alpha = 60^\circ \)일 때, 우리는 식을 sin(x + 60^\circ)로 보고 이것이 1/2이 되는 \( x \) 값을 찾으면 됩니다.
\( sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \)
이제 \( \frac{1}{2} \)인 각을 찾으면 됩니다. sin 함수가 \( \frac{1}{2} \) 값을 가지는 각은 \( 30^\circ \) (또는 \( \frac{\pi}{6} \))과 \( 150^\circ \) (또는 \( \frac{5\pi}{6} \))입니다.
이제 \( x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} \) 또는 \( x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} \)으로 가능한 해를 구합니다.
\( x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} \) 인 경우:
\( x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} \)
\( x = -\frac{\pi}{6} \)
\( x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} \) 인 경우:
\( x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} \)
\( x = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} \)
\( x = \frac{3\pi}{6} \)
\( x = \frac{\pi}{2} \)
그러나 식에서 구해야 하는 \( x \)는 \( -3\pi \leq x \leq 3\pi \) 사이이므로, 우리는 \( \sin \) 함수의 주기가 \( 2\pi \)라는 것을 이용해 모든 해를 찾을 수 있습니다.
따라서 주기성을 이용하여 식 \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \)와 \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \) (여기서 \( k \)는 정수)을 이용할 수 있습니다. 이 식들이 주어진 범위 내에서 가질 수 있는 모든 값들을 찾으면 됩니다.
위의 식들을 만족하는 \( k \)에 대한 \( x \)의 가능한 값들은 다음과 같습니다:
\( x = \frac{\pi}{6} \), \( x = \frac{5\pi}{6} \), \( x = -\frac{11\pi}{6} \), \( x = -\frac{7\pi}{6} \), \( x = -\frac{\pi}{6} \), \( x = \frac{\pi}{2} \), \( x = -\frac{5\pi}{2} \)
범위 안에서 여러 해들 중에서 위의 조건을 만족하는 \( x \) 값을 찾으면 됩니다.
