Question - Solving Logarithmic Equation
Solution:
La ecuación presentada en la imagen es la siguiente:$$ \log_{\frac{3}{2}}(x - 3) = 2 $$Para resolver esta ecuación, necesitamos deshacernos del logaritmo. Para ello, utilizamos la propiedad que dice que si $$ \log_b(a) = c $$, entonces $$ b^c = a $$, donde 'b' es la base del logaritmo, 'a' es el argumento y 'c' es el resultado del logaritmo.En este caso, la base del logaritmo es $$ \frac{3}{2} $$. Así que elevamos $$ \frac{3}{2} $$ a ambos lados de la ecuación para obtener:$$ \left(\frac{3}{2}\right)^2 = x - 3 $$Calculamos $$ \left(\frac{3}{2}\right)^2 $$:$$ \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} $$Entonces, tenemos:$$ \frac{9}{4} = x - 3 $$Ahora vamos a despejar 'x'. Sumamos 3 a ambos lados de la ecuación para aislar 'x':$$ x = \frac{9}{4} + 3 $$Para resolver esta parte, necesitamos tener un denominador común para sumar la fracción con el número entero. Sabemos que 3 es lo mismo que $$ \frac{12}{4} $$ (ya que $$ 3 \times \frac{4}{4} = \frac{12}{4} $$), así que podemos escribir:$$ x = \frac{9}{4} + \frac{12}{4} $$Al sumar las fracciones que tienen el mismo denominador, simplemente sumamos los numeradores:$$ x = \frac{9 + 12}{4} $$$$ x = \frac{21}{4} $$Y con eso hemos resuelto para 'x':$$ x = \frac{21}{4} $$O, si preferimos el número en forma decimal:$$ x = 5.25 $$
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