Solving Logarithmic Equation
La ecuación presentada en la imagen es la siguiente:
\( \log_{\frac{3}{2}}(x - 3) = 2 \)
Para resolver esta ecuación, necesitamos deshacernos del logaritmo. Para ello, utilizamos la propiedad que dice que si \( \log_b(a) = c \), entonces \( b^c = a \), donde 'b' es la base del logaritmo, 'a' es el argumento y 'c' es el resultado del logaritmo.
En este caso, la base del logaritmo es \( \frac{3}{2} \). Así que elevamos \( \frac{3}{2} \) a ambos lados de la ecuación para obtener:
\( \left(\frac{3}{2}\right)^2 = x - 3 \)
Calculamos \( \left(\frac{3}{2}\right)^2 \):
\( \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} \)
Entonces, tenemos:
\( \frac{9}{4} = x - 3 \)
Ahora vamos a despejar 'x'. Sumamos 3 a ambos lados de la ecuación para aislar 'x':
\( x = \frac{9}{4} + 3 \)
Para resolver esta parte, necesitamos tener un denominador común para sumar la fracción con el número entero. Sabemos que 3 es lo mismo que \( \frac{12}{4} \) (ya que \( 3 \times \frac{4}{4} = \frac{12}{4} \)), así que podemos escribir:
\( x = \frac{9}{4} + \frac{12}{4} \)
Al sumar las fracciones que tienen el mismo denominador, simplemente sumamos los numeradores:
\( x = \frac{9 + 12}{4} \)
\( x = \frac{21}{4} \)
Y con eso hemos resuelto para 'x':
\( x = \frac{21}{4} \)
O, si preferimos el número en forma decimal:
\( x = 5.25 \)
