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Example Question - logarithmic equation

Here are examples of questions we've helped users solve.

Proving a Logarithmic Identity

Let's start by using the properties of logarithms to simplify the given expression: \[\begin{align*} \log_{5}\frac{11}{8} - 2\log_{2}j + 3\log_{5}j + \log_{j}\frac{1}{3} &= 0 \end{align*}\] Change the base for the logarithms that are not in base 5 to base 5 using the change of base formula \(\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}\): \[\begin{align*} \log_{5}\frac{11}{8} - 2\left(\frac{\log_{5}j}{\log_{5}2}\right) + 3\log_{5}j + \frac{\log_{5}\frac{1}{3}}{\log_{5}j} &= 0\\ \log_{5}\frac{11}{8} - \frac{2\log_{5}j}{\log_{5}2} + 3\log_{5}j + \frac{\log_{5}3^{-1}}{\log_{5}j} &= 0\\ \log_{5}\frac{11}{8} - \frac{2\log_{5}j}{\log_{5}2} + 3\log_{5}j - \frac{\log_{5}3}{\log_{5}j} &= 0 \end{align*}\] The expression can be proved to be zero if it simplifies to a valid identity such as \( a - a = 0 \) after applying different logarithmic properties or identities. However, without further information on \( j \), it is not clear how the terms containing \( j \) will simplify or cancel each other out, which makes the given expression challenging to prove or disprove without additional context or constraints on \( j \). Therefore, with the information given, it is not possible to conclusively prove this equation.

Logarithmic Equation Problem Solving

\[ \begin{align*} \log_7(7^{2y} - 18) & = y + 1 \\ 7^{2y} - 18 & = 7^{y+1} \\ 7^{2y} - 7^{y}7 - 18 & = 0 \\ \text{令 } z = 7^{y}, \text{得到} \\ z^{2} - 7z - 18 & = 0 \\ (z - 9)(z + 2) & = 0 \\ z = 9 \text{ 或 } z = -2, & \text{但是} z = 7^{y} > 0, \text{所以不考虑} z = -2. \\ 7^{y} & = 9 \\ y & = \log_7 9 \end{align*} \] 所以正确答案是 \( C. \log_7 9 \).

Logarithmic Equation Solving

给定方程 \(\log_7(7^{2y}-18) = y + 1\)。 根据对数的定义，等式可以重写为 \(7^{y+1} = 7^{2y}-18\)。 现在我们有 \(7^{2y}-7^{y+1}= 18\)。 把 \(7^{y+1}\) 表达为 \(7^y \cdot 7\)，我们得到 \(7^{2y}-7 \cdot 7^y = 18\)。 让 \(x = 7^y\)，然后等式变为 \(x^2 - 7x - 18 = 0\)。 因式分解多项式得 \(x^2 - 9x + 2x - 18 = 0\)。 分组后得到 \(x(x - 9) + 2(x - 9) = 0\)。 因此，\(x - 9 = 0\) 或者 \(x + 2 = 0\)。 解出 \(x\) 得到 \(x = 9\) 或者 \(x = -2\)。 因为 \(x\) 是 \(7^y\) 的幂，所以它不能是负数, 忽略 \(x = -2\)。 所以我们有 \(7^y = 9\)。 所以 \(y = \log_7{9}\)。 答案是 C. \(\log_7{9}\)。

Logarithmic Equation Problem

\text{已知等式：}\log_3(x + 4) + \log_3(x - 2) = 3. \text{应用对数法则合并同底对数：}\log_3[(x + 4)(x - 2)] = 3. \text{化简等式得：}\log_3(x^2 + 2x - 8) = 3. \text{消去对数得：}x^2 + 2x - 8 = 3^3. \text{解方程：}x^2 + 2x - 8 = 27. x^2 + 2x - 35 = 0. (x + 7)(x - 5) = 0. \text{所以解为：}x = -7 \text{ 或 } x = 5.

Solving Logarithmic Equation: Log base 2 of 8 Equals 3

La ecuación mostrada en la imagen es log₂8 = 3 y se nos pide resolverla. El logaritmo de base 2 de 8 es igual a 3 significa que 2 elevado a la potencia de 3 es igual a 8. Esto se puede escribir como una ecuación exponencial: 2^3 = 8 Para verificar esta ecuación, calculamos 2 elevado al cubo (2^3): 2^3 = 2 × 2 × 2 = 4 × 2 = 8 Entonces 2 al cubo es igual a 8, lo que confirma que el logaritmo es correcto, y la solución proporcionada en la imagen es verdadera.

Solving Logarithmic Equation

La ecuación presentada en la imagen es la siguiente: \( \log_{\frac{3}{2}}(x - 3) = 2 \) Para resolver esta ecuación, necesitamos deshacernos del logaritmo. Para ello, utilizamos la propiedad que dice que si \( \log_b(a) = c \), entonces \( b^c = a \), donde 'b' es la base del logaritmo, 'a' es el argumento y 'c' es el resultado del logaritmo. En este caso, la base del logaritmo es \( \frac{3}{2} \). Así que elevamos \( \frac{3}{2} \) a ambos lados de la ecuación para obtener: \( \left(\frac{3}{2}\right)^2 = x - 3 \) Calculamos \( \left(\frac{3}{2}\right)^2 \): \( \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} \) Entonces, tenemos: \( \frac{9}{4} = x - 3 \) Ahora vamos a despejar 'x'. Sumamos 3 a ambos lados de la ecuación para aislar 'x': \( x = \frac{9}{4} + 3 \) Para resolver esta parte, necesitamos tener un denominador común para sumar la fracción con el número entero. Sabemos que 3 es lo mismo que \( \frac{12}{4} \) (ya que \( 3 \times \frac{4}{4} = \frac{12}{4} \)), así que podemos escribir: \( x = \frac{9}{4} + \frac{12}{4} \) Al sumar las fracciones que tienen el mismo denominador, simplemente sumamos los numeradores: \( x = \frac{9 + 12}{4} \) \( x = \frac{21}{4} \) Y con eso hemos resuelto para 'x': \( x = \frac{21}{4} \) O, si preferimos el número en forma decimal: \( x = 5.25 \)

Converting Logarithmic Equation to Exponential Form

To write the logarithmic equation log₈ 64 = 2 in exponential form, remember that the logarithmic equation logₐ b = c translates to a^c = b in exponential form. In this case, a = 8, b = 64, and c = 2. Thus, the exponential form of the equation is: 8^2 = 64

Solving a Logarithmic Equation for a Mathematical Expression

El problema nos da la ecuación \( ab = c \) y la siguiente igualdad de logaritmos: \[ \log_c a + \log_c b = \frac{32}{5} \] Se nos pide calcular el valor de \( F \), que está dado por: \[ F = \frac{\log a^3 + \log b^3 + \log c^3}{\log a \cdot \log b \cdot \log c} \] Primero, reescribiremos la fracción con las propiedades de los logaritmos. Sabemos que \(\log x^n = n \log x\), así podemos simplificar el numerador: \[ F = \frac{3 \log a + 3 \log b + 3 \log c}{\log a \cdot \log b \cdot \log c} \] Ahora, sabemos que \(\log a = \log_c a \cdot \log c\) y similarmente para los otros logaritmos. Vamos a reescribir el denominador utilizando esta propiedad y el hecho de que \( \log_c a + \log_c b = \frac{32}{5} \): \[ \log a \cdot \log b \cdot \log c = (\log_c a \cdot \log c) \cdot (\log_c b \cdot \log c) \cdot \log c \] \[ = (\log_c a \cdot \log_c b) \cdot (\log c)^3 \] \[ = \frac{32}{5} \cdot (\log c)^3 \] Entonces: \[ F = \frac{3(\log a + \log b + \log c)}{\frac{32}{5} \cdot (\log c)^3} \] Pero aquí estamos atascados porque no tenemos suficiente información sobre \(\log a\), \(\log b\), y \ log c\ directamente para simplificar más. Necesitamos averiguar cómo relacionar \(\log_c a\), \(\log_c b\), y \(\log c\) para poder avanzar. De la relación dada \( ab = c \), si tomamos el logaritmo natural (o logaritmo en cualquier base), tenemos: \[ \log ab = \log c \] Por las propiedades de los logaritmos, esta ecuación es equivalente a: \[ \log a + \log b = \log c \] Podemos usar esta información para reescribir \(\log a + \log b + \log c\) como \(2 \log c\). Por lo tanto, el numerador se convierte en: \[ 3(2 \log c) = 6 \log c \] Ahora, sustituimos esto de vuelta en la ecuación de \( F \) y simplificamos: \[ F = \frac{6 \log c}{\frac{32}{5} \cdot (\log c)^3} \] \[ F = \frac{6 \cdot 5}{32} \cdot \frac{1}{(\log c)^2} \] \[ F = \frac{30}{32} \cdot \frac{1}{(\log c)^2} \] Reduzcamos esta fracción para simplificarla: \[ F = \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{(\log c)^2} \] Dado que no tenemos más información específica sobre \( \log c \), no podemos simplificar más. Por lo tanto, el valor de \( F \) es: \[ F = \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{(\log c)^2} \] Podríamos buscar expresar \( \log c \) de alguna manera con la información dada, pero sin información adicional sobre los valores de \( a \), \( b \), y \( c \), no podemos determinar un valor numérico específico para \( F \).

Solving a Logarithmic Equation with Base 2

The equation provided in the image is a logarithmic equation with base 2. It reads: \[ \log_2(x - 2) + \log_2(8 - x) - \log_2(x - 5) = 3 \] To solve for \( x \), first we can use the logarithmic properties to combine the terms on the left side. The addition of two logarithms with the same base corresponds to the logarithm of the product of the arguments, and the subtraction of two logarithms with the same base corresponds to the logarithm of the quotient of the arguments: \[ \log_2\left(\frac{(x - 2)(8 - x)}{x - 5}\right) = 3 \] Now that we have a single log equation, we can rewrite it in exponential form, with the base raised to the power on the right-hand side equal to the expression inside the log: \[ 2^3 = \frac{(x - 2)(8 - x)}{x - 5} \] From this, we know that: \[ 8 = \frac{(x - 2)(8 - x)}{x - 5} \] Now we can solve for \( x \) by cross-multiplying: \[ 8(x - 5) = (x - 2)(8 - x) \] \[ 8x - 40 = 8x - x^2 - 16 + 2x \] \[ 8x - 40 = - x^2 + 10x - 16 \] Rearrange terms to solve the quadratic equation for \( x \): \[ x^2 - 10x + 24 = 0 \] This is a standard quadratic equation and can be factored as: \[ (x - 4)(x - 6) = 0 \] So the two solutions for \( x \) are: \[ x = 4 \quad \text{and} \quad x = 6 \] However, we need to check these solutions in the original equation to make sure we are not including extraneous solutions and that they make sense in the context of the logarithms (i.e., the arguments of all the logarithms must be positive). Substitute \( x = 4 \): \[ \log_2(4 - 2) + \log_2(8 - 4) - \log_2(4 - 5) \] Since \(\log_2(4 - 5)\) would result in the logarithm of a negative number, which is undefined, \( x = 4 \) is not a valid solution. Substitute \( x = 6 \): \[ \log_2(6 - 2) + \log_2(8 - 6) - \log_2(6 - 5) \] \[ \log_2(4) + \log_2(2) - \log_2(1) \] All the arguments are positive, so this is a valid solution. Since \(\log_2(4) = 2\), \(\log_2(2) = 1\), and \(\log_2(1) = 0\): \[ 2 + 1 - 0 = 3 \] The equation holds true for \( x = 6 \). Thus, the valid solution for the given equation is \( x = 6 \).