Example Question - logarithm properties
Here are examples of questions we've helped users solve.
Logarithmic Equation Solving
<p>给定方程 \(\log_7(7^{2y}-18) = y + 1\)。</p> <p>根据对数的定义，等式可以重写为 \(7^{y+1} = 7^{2y}-18\)。</p> <p>现在我们有 \(7^{2y}-7^{y+1}= 18\)。</p> <p>把 \(7^{y+1}\) 表达为 \(7^y \cdot 7\)，我们得到 \(7^{2y}-7 \cdot 7^y = 18\)。</p> <p>让 \(x = 7^y\)，然后等式变为 \(x^2 - 7x - 18 = 0\)。</p> <p>因式分解多项式得 \(x^2 - 9x + 2x - 18 = 0\)。</p> <p>分组后得到 \(x(x - 9) + 2(x - 9) = 0\)。</p> <p>因此，\(x - 9 = 0\) 或者 \(x + 2 = 0\)。</p> <p>解出 \(x\) 得到 \(x = 9\) 或者 \(x = -2\)。</p> <p>因为 \(x\) 是 \(7^y\) 的幂，所以它不能是负数, 忽略 \(x = -2\)。</p> <p>所以我们有 \(7^y = 9\)。</p> <p>所以 \(y = \log_7{9}\)。</p> <p>答案是 C. \(\log_7{9}\)。</p>
Solving Logarithmic Equation
La ecuación presentada en la imagen es la siguiente: \( \log_{\frac{3}{2}}(x - 3) = 2 \) Para resolver esta ecuación, necesitamos deshacernos del logaritmo. Para ello, utilizamos la propiedad que dice que si \( \log_b(a) = c \), entonces \( b^c = a \), donde 'b' es la base del logaritmo, 'a' es el argumento y 'c' es el resultado del logaritmo. En este caso, la base del logaritmo es \( \frac{3}{2} \). Así que elevamos \( \frac{3}{2} \) a ambos lados de la ecuación para obtener: \( \left(\frac{3}{2}\right)^2 = x - 3 \) Calculamos \( \left(\frac{3}{2}\right)^2 \): \( \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} \) Entonces, tenemos: \( \frac{9}{4} = x - 3 \) Ahora vamos a despejar 'x'. Sumamos 3 a ambos lados de la ecuación para aislar 'x': \( x = \frac{9}{4} + 3 \) Para resolver esta parte, necesitamos tener un denominador común para sumar la fracción con el número entero. Sabemos que 3 es lo mismo que \( \frac{12}{4} \) (ya que \( 3 \times \frac{4}{4} = \frac{12}{4} \)), así que podemos escribir: \( x = \frac{9}{4} + \frac{12}{4} \) Al sumar las fracciones que tienen el mismo denominador, simplemente sumamos los numeradores: \( x = \frac{9 + 12}{4} \) \( x = \frac{21}{4} \) Y con eso hemos resuelto para 'x': \( x = \frac{21}{4} \) O, si preferimos el número en forma decimal: \( x = 5.25 \)
Understanding Properties of Logarithms
Claro, puedo ayudarte a asociar las propiedades de los logaritmos con la solución correcta. Aquí está la asociación correcta según las opciones que proporcionaste: 1. \( \log(a) + \log(b) = \log(ab) \) Esta es la propiedad del logaritmo que dice que la suma de los logaritmos es igual al logaritmo del producto de los números. 2. \( \log_b(m^n) = n \cdot \log_b(m) \) Esta es la propiedad de los logaritmos que dice que el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base. 3. \( \frac{\log(a)}{\log(b)} = \log_b(a) \) Esta es la propiedad del cambio de base, que permite convertir un logaritmo de una base a otra. Asociando las propiedades con la solución correcta, tendríamos lo siguiente: - La propiedad a que corresponde con \( \log(m) + \log(n) = \log(m \cdot n) \), es la primera. - La propiedad b que corresponde con \( n \cdot \log(b) \), es la segunda. - La propiedad c que corresponde con \( \log_b(a) \), es la tercera. Entonces, las respuestas según tu imagen son: a -> iii b -> ii c -> i
Solving a Logarithmic Equation for a Mathematical Expression
El problema nos da la ecuación \( ab = c \) y la siguiente igualdad de logaritmos: \[ \log_c a + \log_c b = \frac{32}{5} \] Se nos pide calcular el valor de \( F \), que está dado por: \[ F = \frac{\log a^3 + \log b^3 + \log c^3}{\log a \cdot \log b \cdot \log c} \] Primero, reescribiremos la fracción con las propiedades de los logaritmos. Sabemos que \(\log x^n = n \log x\), así podemos simplificar el numerador: \[ F = \frac{3 \log a + 3 \log b + 3 \log c}{\log a \cdot \log b \cdot \log c} \] Ahora, sabemos que \(\log a = \log_c a \cdot \log c\) y similarmente para los otros logaritmos. Vamos a reescribir el denominador utilizando esta propiedad y el hecho de que \( \log_c a + \log_c b = \frac{32}{5} \): \[ \log a \cdot \log b \cdot \log c = (\log_c a \cdot \log c) \cdot (\log_c b \cdot \log c) \cdot \log c \] \[ = (\log_c a \cdot \log_c b) \cdot (\log c)^3 \] \[ = \frac{32}{5} \cdot (\log c)^3 \] Entonces: \[ F = \frac{3(\log a + \log b + \log c)}{\frac{32}{5} \cdot (\log c)^3} \] Pero aquí estamos atascados porque no tenemos suficiente información sobre \(\log a\), \(\log b\), y \ log c\ directamente para simplificar más. Necesitamos averiguar cómo relacionar \(\log_c a\), \(\log_c b\), y \(\log c\) para poder avanzar. De la relación dada \( ab = c \), si tomamos el logaritmo natural (o logaritmo en cualquier base), tenemos: \[ \log ab = \log c \] Por las propiedades de los logaritmos, esta ecuación es equivalente a: \[ \log a + \log b = \log c \] Podemos usar esta información para reescribir \(\log a + \log b + \log c\) como \(2 \log c\). Por lo tanto, el numerador se convierte en: \[ 3(2 \log c) = 6 \log c \] Ahora, sustituimos esto de vuelta en la ecuación de \( F \) y simplificamos: \[ F = \frac{6 \log c}{\frac{32}{5} \cdot (\log c)^3} \] \[ F = \frac{6 \cdot 5}{32} \cdot \frac{1}{(\log c)^2} \] \[ F = \frac{30}{32} \cdot \frac{1}{(\log c)^2} \] Reduzcamos esta fracción para simplificarla: \[ F = \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{(\log c)^2} \] Dado que no tenemos más información específica sobre \( \log c \), no podemos simplificar más. Por lo tanto, el valor de \( F \) es: \[ F = \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{(\log c)^2} \] Podríamos buscar expresar \( \log c \) de alguna manera con la información dada, pero sin información adicional sobre los valores de \( a \), \( b \), y \( c \), no podemos determinar un valor numérico específico para \( F \).
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